다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.6절 · 3번

CLP-1 · 2.6절 · 3번우리말 번역

$f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9$ 를 미분하고 그 결과를 인수분해하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9$ and factor the result.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9$ 는 다항식이다.

$\begin{aligned} f'(x)&=4x^5+20x^3+24x\\& =4x(x^4+5x^2+6)\\& = 4x((x^2)^2+5(x^2)+6)\\&=4x(x^2+2)(x^2+3) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9$ is a polynomial:

$\begin{aligned} f'(x)&=4x^5+20x^3+24x\\& =4x(x^4+5x^2+6)\\& = 4x((x^2)^2+5(x^2)+6)\\&=4x(x^2+2)(x^2+3) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.6절 · 13번우리말 번역

$x$ 의 어떤 값에서 $\dfrac{\sqrt{x}}{1-x^2}$ 의 도함수가 존재하는지 구하세요. 답을 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 함수의 도함수는

$\begin{aligned} \frac{(1-x^2)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot (-2x)}{(1-x^2)^2} &= \frac{(1-x^2) - 2x \cdot (-2x)}{2\sqrt{x}(1-x^2)^2} \end{aligned}$

이다.

도함수는 $x<0$ 이거나 $x = 0,\pm 1$ 이면 정의되지 않는다 (제곱근은 $x<0$ 일 때 정의되지 않고, 분모는 $x=0,1,-1$ 일 때 0이 되기 때문이다. 이를 종합하면 도함수는 $x>0, x\neq 1$ 일 때 존재한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다항함수의 미분법계산보통자동 분류