다항함수의 미분법

공통접선의 기울기를 $m$, $y=x^2$ 과의 접점을 $(x_1,y_1)$, $y=x^2-2x+2$ 와의 접점을 $(x_2,y_2)$ 라 하자. 그러면 다음이 성립해야 한다. $$y_1=x_1^2\qquad y_2=x_2^2-2x_2+2\qquad m=2x_1=2x_2-2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ “$m$” 에 관한 등식들로부터 $x_1=\frac{m}{2}$, $x_2=\frac{m}{2}+1$ 이고

$$\begin{aligned} m&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=y_2-y_1\\ &=x_2^2-2x_2+2-x_1^2\\ \\& =(x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_2-1)\\ &=\left(\frac{m}{2}+1-\frac{m}{2}\right)\left(\frac{m}{2}+1+\frac{m}{2}\right) -2\left(\frac{m}{2}+1-1\right) \\ &=(1)(m+1)-2\frac{m}{2}\\ &=1\\ \text{따라서,}~~~m&=1,\qquad x_1=\tfrac{1}{2},\qquad y_1=\frac{1}{4},\qquad x_2=\frac{3}{2},\qquad y_2=\frac{9}{4}-3+2=\frac{5}{4} \end{aligned}$$

공통접선의 방정식은 $y=x-\frac{1}{4}$ 이다.