다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.6절 · 17번

CLP-1 · 2.6절 · 17번우리말 번역

두 곡선 $y = x^2$ 과 $y = x^2 - 2x + 2$ 에 (서로 다른 점에서) 모두 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of a line that is tangent to both of the curves $y = x^2$ and $y = x^2 - 2x + 2$ (at different points).

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

공통접선의 기울기를 $m$ , $y=x^2$ 과의 접점을 $(x_1,y_1)$ , $y=x^2-2x+2$ 와의 접점을 $(x_2,y_2)$ 라 하자. 그러면 다음이 성립해야 한다. $y_1=x_1^2\qquad y_2=x_2^2-2x_2+2\qquad m=2x_1=2x_2-2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ “ $m$ ” 에 관한 등식들로부터 $x_1=\frac{m}{2}$ , $x_2=\frac{m}{2}+1$ 이고

$\begin{aligned} m&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=y_2-y_1\\ &=x_2^2-2x_2+2-x_1^2\\ \\& =(x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_2-1)\\ &=\left(\frac{m}{2}+1-\frac{m}{2}\right)\left(\frac{m}{2}+1+\frac{m}{2}\right) -2\left(\frac{m}{2}+1-1\right) \\ &=(1)(m+1)-2\frac{m}{2}\\ &=1\\ \text{따라서,}~~~m&=1,\qquad x_1=\tfrac{1}{2},\qquad y_1=\frac{1}{4},\qquad x_2=\frac{3}{2},\qquad y_2=\frac{9}{4}-3+2=\frac{5}{4} \end{aligned}$

공통접선의 방정식은 $y=x-\frac{1}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote by $m$ the slope of the common tangent, by $(x_1,y_1)$ the point of tangency with $y=x^2$ , and by $(x_2,y_2)$ the point of tangency with $y=x^2-2x+2$ . Then we must have $y_1=x_1^2\qquad y_2=x_2^2-2x_2+2\qquad m=2x_1=2x_2-2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ From the “ $m$ ” equations we get $x_1=\frac{m}{2}$ , $x_2=\frac{m}{2}+1$ and

$\begin{aligned} m&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=y_2-y_1\\ &=x_2^2-2x_2+2-x_1^2\\ \\& =(x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_2-1)\\ &=\left(\frac{m}{2}+1-\frac{m}{2}\right)\left(\frac{m}{2}+1+\frac{m}{2}\right) -2\left(\frac{m}{2}+1-1\right) \\ &=(1)(m+1)-2\frac{m}{2}\\ &=1\\ \text{So,}~~~m&=1,\qquad x_1=\tfrac{1}{2},\qquad y_1=\frac{1}{4},\qquad x_2=\frac{3}{2},\qquad y_2=\frac{9}{4}-3+2=\frac{5}{4} \end{aligned}$

An equation of the common tangent is $y=x-\frac{1}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.6절 · 1번우리말 번역

다음 계산에서 틀린 곳을 찾아 바로잡으세요.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1)+2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{x+1} \end{aligned}$

다 풀었으면 정답 확인

몫의 미분법에서는 덧셈이 아니라 뺄셈이 들어간다. 또한 $2(x+1)+2x$ 는 $2(x+1)$ 과 같지 않다.

올바른 계산은 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1) -2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류