f 와 g 가 미분가능한 함수이고 다음 정보가 알려져 있다고 하자: f(2)=5, g(2)=−3, f′(2)=−1/2, g′(2)=2.
(a) 새로운 함수 h 를 h(x)=3f(x)−4g(x) 로 정의하자. h(2) 와 h′(2) 를 구하세요.
(b) 점 (2,h(2)) 에서 y=h(x) 에 접하는 접선의 방정식을 구하세요.
(c) 함수 p 를 p(x)=−2f(x)+21g(x) 로 정의하자. a=2 에서 p 는 증가하는지, 감소하는지, 둘 다 아닌지 판단하세요. 그 이유는 무엇인지 설명하세요.
(d) 점 (2,p(2)) 에서 p 의 국소선형근사를 이용하여 p(2.03) 의 값을 어림하세요.
다 풀었으면 정답 확인
(a) 먼저 h(x)=3f(x)−4g(x) 이므로 h(2)=3f(2)−4g(2)=3(5)−4(−3)=27 이다. 다음으로 합의 법칙과 상수배의 법칙에 의해 h′(x)=3f′(x)−4g′(x) 이다. 따라서 주어진 미분계수 값을 이용하면 h′(2)=3f′(2)−4g′(2)=3(−1/2)−4(2)=−19/2 이다.
(b) 점 (2,h(2)) 에서의 접선의 방정식은 L(x)=h(2)+h′(2)(x−2) 이다. (a)에서 구한 값을 이용하면 L(x)=27−219(x−2) 이다.
(c) p(x)=−2f(x)+21g(x) 이므로 합의 법칙과 상수배의 법칙에 의해 p′(x)=−2f′(x)+21g′(x) 이다. x=2 에서 f 와 g 의 주어진 함숫값과 미분계수 값을 이용하면 p(2)=−2f(2)+21g(2)=−2(5)+21(−3)=−223 이고 p′(2)=−2(−21)+21(2))=2 이다. p′(2)=2>0 이므로 p 는 x=2 에서 증가한다고 결론짓는다.
(d) 먼저 a=2 에서 p 의 선형근사는 L(x)=p(2)+p′(2)(x−2)=−223+2(x−2) 이다. 이 선형근사를 이용하여 p(2.03) 을 어림하면
p(2.03)≈L(2.03)=−223+2(2.03−2)=−11.5+2(0.03)=−11.44.