지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.7절 · 1번

CLP-1 · 2.7절 · 1번우리말 번역

그래프의 곡선을 다음 함수와 짝지으세요. $(a)~ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \qquad(b)~ y=1^x\qquad (c)~ y=2^x \qquad (d)~ y=2^{-x}\qquad(e)~ y=3^x$

영어 원문 보기

Match the curves in the graph to the following functions: $(a)~ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \qquad(b)~ y=1^x\qquad (c)~ y=2^x \qquad (d)~ y=2^{-x}\qquad(e)~ y=3^x$

정답·풀이 보기

모든 $x$ 에 대해 $1^x=1$ 이므로 $(b)$ 는 상수함수 $y=1$ 이다. 따라서 D는 $(b)$ 와 짝지어진다.

$2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 이므로 함수 $(a)$ 와 $(d)$ 는 서로 같다. 이 함수는 주어진 함수 중 $x\to-\infty$ 일 때 커지고 $x \to \infty$ 일 때 작아지는 유일한 함수이므로, A는 $(a)$ 와 $(d)$ 에 짝지어진다.

이제 B와 C가 $(c)$ 와 $(e)$ 에 짝지어지는 일이 남는다. $3>2$ 이므로 $x>0$ 일 때 $3^x>2^x$ 이다. 따라서 $(e)$ 는 $x$ 축의 오른쪽에서 더 빠르게 커지는 함수에 짝지어진다. 즉 B는 $(e)$ 에, C는 $(c)$ 에 짝지어진다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $1^x=1$ for any $x$ , we see that $(b)$ is just the constant function $y=1$ , so D matches to $(b)$ .

Since $2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ , functions $(a)$ and $(d)$ are the same. This is the only function out of the lot that grows as $x\to-\infty$ and shrinks as $x \to \infty$ , so A matches to $(a)$ and $(d)$ .

This leaves B and C to match to $(c)$ and $(e)$ . Since $3>2$ , when $x>0$ , $3^x>2^x$ . So, $(e)$ matches to the function that grows more quickly to the right of the $x$ -axis: B matches to $(e)$ , and C matches to $(c)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.7절 · 3번우리말 번역

참 또는 거짓: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}=xe^{x-1}$

답 쓰고 채점

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거듭제곱 법칙에 따르면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^n\}=nx^{n-1}$ 이다. 이 등식에서는 변수가 밑이고 지수가 상수이다. 함수 $e^x$ 에서는 이와 반대로 변수가 지수이고 밑이 상수이다. 따라서 거듭제곱 법칙은 적용되지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분그래프·표 해석기본자동 분류