지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.7절 · 11번

CLP-1 · 2.7절 · 11번우리말 번역

입자의 위치가 $s(t)=t^2e^t$ 로 주어진다. 입자가 음의 방향으로 움직이는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

A particle's position is given by $s(t)=t^2e^t.$ When is the particle moving in the negative direction?

정답·풀이 보기

문제는 $s'(t)$ 가 음수가 되는 때를 묻고 있다. 따라서 먼저 미분한다. 곱의 미분법을 쓰면 다음과 같다.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^t(t^2+2t)\\ &=e^t \cdot t(t+2) \end{aligned}$

$e^t$ 는 항상 양수이므로, $t$ 와 $2+t$ 의 부호가 반대일 때 $s'(t)$ 가 음수이다. 이는 $-2<t<0$ 일 때 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

The question asks when $s'(t)$ is negative. So, we start by differentiating. Using the product rule:

$\begin{aligned} s'(t)&=e^t(t^2+2t)\\ &=e^t \cdot t(t+2) \end{aligned}$

$e^t$ is always positive, so $s'(t)$ is negative when $t$ and $2+t$ have opposite signs. This occurs when $-2<t<0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.7절 · 1번우리말 번역

그래프의 곡선을 다음 함수와 짝지으세요. $(a)~ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \qquad(b)~ y=1^x\qquad (c)~ y=2^x \qquad (d)~ y=2^{-x}\qquad(e)~ y=3^x$

다 풀었으면 정답 확인

모든 $x$ 에 대해 $1^x=1$ 이므로 $(b)$ 는 상수함수 $y=1$ 이다. 따라서 D는 $(b)$ 와 짝지어진다.

$2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 이므로 함수 $(a)$ 와 $(d)$ 는 서로 같다. 이 함수는 주어진 함수 중 $x\to-\infty$ 일 때 커지고 $x \to \infty$ 일 때 작아지는 유일한 함수이므로, A는 $(a)$ 와 $(d)$ 에 짝지어진다.

이제 B와 C가 $(c)$ 와 $(e)$ 에 짝지어지는 일이 남는다. $3>2$ 이므로 $x>0$ 일 때 $3^x>2^x$ 이다. 따라서 $(e)$ 는 $x$ 축의 오른쪽에서 더 빠르게 커지는 함수에 짝지어진다. 즉 B는 $(e)$ 에, C는 $(c)$ 에 짝지어진다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류