지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.7절 · 13번

CLP-1 · 2.7절 · 13번우리말 번역

다음 함수 중 직선을 나타내는 것을 모두 고르세요. $(a) ~y=e^{3\log x}+1 \qquad (b) ~2y+5=e^{3+\log x} \qquad (c)~y=e^{2x}+4\qquad (d)~y=e^{\log x}3^e+\log 2$

영어 원문 보기

Which of the following functions describe a straight line? $(a) ~y=e^{3\log x}+1 \qquad (b) ~2y+5=e^{3+\log x} \qquad (c)~y=e^{2x}+4\qquad (d)~y=e^{\log x}3^e+\log 2$

정답·풀이 보기

상황을 더 잘 파악하기 위해 함수를 간단히 한다.

( $a$ ): $y=e^{3\log x}+1=\left(e^{\log x}\right)^3+1=x^3+1$ . 이것은 직선이 아니다.

( $b$ ): $2y+5=e^{3+\log x}=e^3e^{\log x}=e^3x$ . $e^3$ 은 상수이므로 $2y+5=e^3x$ 는 직선이다.

( $c$ ): 여기서는 특별히 간단히 할 방법이 없다. 이것은 직선이 아니다. 이 설명이 만족스럽지 않다면 다음과 같이 확인할 수 있다. 직선은 기울기가 일정한 함수이다. 주어진 함수에 대해 $y'=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{2x} +4\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{2x}\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{(e^x)^2\right\}=2e^xe^x=2e^{2x}$ 이다. 도함수가 상수가 아니므로 이 함수는 직선이 아니다.

( $d$ ): $y=e^{\log x}3^e+\log 2=3^e\,x+\log 2$ . $3^e$ 과 $\log 2$ 는 상수이므로 이것은 직선이다.

원본 교재 풀이(영어)

We simplify the functions to get a better idea of what's going on.

( $a$ ): $y=e^{3\log x}+1=\left(e^{\log x}\right)^3+1=x^3+1$ . This is not a line.

( $b$ ): $2y+5=e^{3+\log x}=e^3e^{\log x}=e^3x$ . Since $e^3$ is a constant, $2y+5=e^3x$ is a line.

( $c$ ): There isn't a fancy simplification here–this isn't a line. If that isn't a satisfactory answer, we can check: a line is a function with a constant slope. For our function, $y'=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{2x} +4\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{2x}\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{(e^x)^2\right\}=2e^xe^x=2e^{2x}$ . Since the derivative isn't constant, the function isn't a line.

( $d$ ): $y=e^{\log x}3^e+\log 2=3^e\,x+\log 2$ . Since $3^e$ and $\log 2$ are constants, this is a line.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.7절 · 11번우리말 번역

입자의 위치가 $s(t)=t^2e^t$ 로 주어진다. 입자가 음의 방향으로 움직이는 때는 언제인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

문제는 $s'(t)$ 가 음수가 되는 때를 묻고 있다. 따라서 먼저 미분한다. 곱의 미분법을 쓰면 다음과 같다.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^t(t^2+2t)\\ &=e^t \cdot t(t+2) \end{aligned}$

$e^t$ 는 항상 양수이므로, $t$ 와 $2+t$ 의 부호가 반대일 때 $s'(t)$ 가 음수이다. 이는 $-2<t<0$ 일 때 성립한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산도전자동 분류