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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

속도와 가속도

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.1절 · 1번우리말 번역

공을 똑바로 위로 던졌고, t=0t=0 부터 t=4t=4 까지 공의 높이가 h(t)=−4.9t2+19.6th(t)=-4.9t^2+19.6t 로 주어진다고 하자. 참인지 거짓인지 판단하세요: 시각 t=2t=2 에서 공의 가속도는 0이다.

영어 원문 보기

Suppose you throw a ball straight up in the air, and its height from t=0t=0 to t=4t=4 is given by h(t)=−4.9t2+19.6th(t)=-4.9t^2+19.6t. True or false: at time t=2t=2, the acceleration of the ball is 0.

정답·풀이 보기

거짓이다. 공의 가속도는 h′′(t)=−9.8h''(t)=-9.8 이다. 이는 공이 움직이는 내내 상수이다(중력 때문이다).

참고: t=2t=2 에서 공의 속도는 h′(2)=−9.8(2)+19.6=0h'(2)=-9.8(2)+19.6=0 이므로 0이지만, 속도가 0인 것은 한 순간뿐이다. 속도가 변하고 있으므로 가속도는 0이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

False. The acceleration of the ball is given by h′′(t)=−9.8h''(t)=-9.8. This is constant throughout its trajectory (and is due to gravity).

Remark: the velocity of the ball at t=2t=2 is zero, since h′(2)=−9.8(2)+19.6=0h'(2)=-9.8(2)+19.6=0, but the velocity is only zero for an instant. Since the velocity is changing, the acceleration is nonzero.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.1절 · 15번우리말 번역

이 절에서는 지구에서 물체가 떨어지는 것과 관련된 여러 가지 문제를 냅니다. 달리 언급하지 않는 한, 공기 중에서 떨어지는 물체의 중력에 의한 가속도는 1초당 초속 9.8미터라고 가정하세요.

시속 120 km로 달리고 있다가 1시간당 시속 5000050 000 km의 감속도로 브레이크를 밟기 시작했다고 합시다. 3초 동안 감속도를 1시간당 시속 6000060 000 km까지 꾸준히 늘립니다. (즉, 3초 동안 감속도의 변화율은 일정합니다.) 이 3초가 끝났을 때 시속 몇 km로 달리고 있는지 구하세요.

답 쓰고 채점
km/h
다 풀었으면 정답 확인

가속도의 도함수는 상수이므로 가속도 a(t)a(t) 는 mt+bmt+b 꼴이다. a(0)=−50 000a(0)=-50~000 이고 a(33600)=−60 000a\left(\frac{3}{3600}\right)=-60~000 이다. (여기서 33초는 33600\frac{3}{3600}시간임에 주목한다.) 따라서 a(t)a(t) 의 기울기는 −60 000+50 00033600=−12 000 000\frac{-60~000+50~000}{\frac{3}{3600}}=-12~000~000 이고, 이로부터 a(t)=−50 000−(12 000 000)ta(t)=-50~000-(12~000~000)t 를 얻는다. 여기서 tt 는 시간 단위로 잰 값이다.

v′(t)=a(t)=−50 000−(12 000 000)tv'(t)=a(t)=-50~000-(12~000~000)t 이므로 v(t)=−12 000 0002t2−50 000t+c=−6 000 000t2−50 000t+cv(t)=\frac{-12~ 000~000}{2}t^2-50~000t+c=-6~000~000t^2-50~000t+c 이다. 여기서 cc 는 어떤 상수이다. 120=v(0)=c120=v(0)=c 이므로 v(t)=−6 000 000t2−50 000t+120v(t)=-6~000~000t^2-50~000t+120 이다.

그러면 3초 동안 브레이크를 밟은 뒤의 속도는

v(33600)=−6 000 000(33600)2−50 000(33600)+120=−256−1253+120≈74.2 kph\begin{aligned}v\left(\frac{3}{3600}\right) &=-6~000~000\left(\frac{3}{3600}\right)^2-50~000\left(\frac{3}{3600}\right)+120\\ &=-\frac{25}{6}-\frac{125}{3}+120\\ &\approx 74.2 \text{ kph} \end{aligned}

이다.

참고: 가속도가 일정할 때 위치 함수는 이차함수이지만, 위치 함수가 항상 이차함수라고 생각하게 하려는 것은 아니다. 방금 푼 예에서는 속도 함수가 이차함수였다. 위치 함수, 속도 함수, 가속도 함수가 반드시 다항식일 필요는 전혀 없다. 가장 단순한 경우를 다루는 이 절에서만 그렇게 보일 뿐이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 속도와 가속도개념 확인기본자동 분류

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