빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

속도와 가속도

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.1절 · 15번우리말 번역

이 절에서는 지구에서 물체가 떨어지는 것과 관련된 여러 가지 문제를 냅니다. 달리 언급하지 않는 한, 공기 중에서 떨어지는 물체의 중력에 의한 가속도는 1초당 초속 9.8미터라고 가정하세요.

시속 120 km로 달리고 있다가 1시간당 시속 5000050 000 km의 감속도로 브레이크를 밟기 시작했다고 합시다. 3초 동안 감속도를 1시간당 시속 6000060 000 km까지 꾸준히 늘립니다. (즉, 3초 동안 감속도의 변화율은 일정합니다.) 이 3초가 끝났을 때 시속 몇 km로 달리고 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

For this section, we will ask you a number of questions that have to do with objects falling on Earth. Unless otherwise stated, you should assume that an object falling through the air has an acceleration due to gravity of 9.8 meters per second per second.

Suppose you are driving at 120 kph, and you start to brake at a deceleration of 5000050 000 kph per hour. For three seconds you steadily increase your deceleration to 6000060 000 kph per hour. (That is, for three seconds, the rate of change of your deceleration is constant.) How fast are you driving at the end of those three seconds?

답 쓰고 채점
km/h
정답·풀이 보기

가속도의 도함수는 상수이므로 가속도 a(t)a(t) 는 mt+bmt+b 꼴이다. a(0)=−50 000a(0)=-50~000 이고 a(33600)=−60 000a\left(\frac{3}{3600}\right)=-60~000 이다. (여기서 33초는 33600\frac{3}{3600}시간임에 주목한다.) 따라서 a(t)a(t) 의 기울기는 −60 000+50 00033600=−12 000 000\frac{-60~000+50~000}{\frac{3}{3600}}=-12~000~000 이고, 이로부터 a(t)=−50 000−(12 000 000)ta(t)=-50~000-(12~000~000)t 를 얻는다. 여기서 tt 는 시간 단위로 잰 값이다.

v′(t)=a(t)=−50 000−(12 000 000)tv'(t)=a(t)=-50~000-(12~000~000)t 이므로 v(t)=−12 000 0002t2−50 000t+c=−6 000 000t2−50 000t+cv(t)=\frac{-12~ 000~000}{2}t^2-50~000t+c=-6~000~000t^2-50~000t+c 이다. 여기서 cc 는 어떤 상수이다. 120=v(0)=c120=v(0)=c 이므로 v(t)=−6 000 000t2−50 000t+120v(t)=-6~000~000t^2-50~000t+120 이다.

그러면 3초 동안 브레이크를 밟은 뒤의 속도는

v(33600)=−6 000 000(33600)2−50 000(33600)+120=−256−1253+120≈74.2 kph\begin{aligned}v\left(\frac{3}{3600}\right) &=-6~000~000\left(\frac{3}{3600}\right)^2-50~000\left(\frac{3}{3600}\right)+120\\ &=-\frac{25}{6}-\frac{125}{3}+120\\ &\approx 74.2 \text{ kph} \end{aligned}

이다.

참고: 가속도가 일정할 때 위치 함수는 이차함수이지만, 위치 함수가 항상 이차함수라고 생각하게 하려는 것은 아니다. 방금 푼 예에서는 속도 함수가 이차함수였다. 위치 함수, 속도 함수, 가속도 함수가 반드시 다항식일 필요는 전혀 없다. 가장 단순한 경우를 다루는 이 절에서만 그렇게 보일 뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of acceleration is constant, so the acceleration a(t)a(t) has the form mt+bmt+b. We know a(0)=−50 000a(0)=-50~000 and a(33600)=−60 000a\left(\frac{3}{3600}\right)=-60~000 (where we note that 33 seconds is 33600\frac{3}{3600} hours). So, the slope of a(t)a(t) is −60 000+50 00033600=−12 000 000\frac{-60~000+50~000}{\frac{3}{3600}}=-12~000~000, which leads us to a(t)=−50 000−(12 000 000)ta(t)=-50~000-(12~000~000)t where tt is measured in hours.

Since v′(t)=a(t)=−50 000−(12 000 000)tv'(t)=a(t)=-50~000-(12~000~000)t, we see v(t)=−12 000 0002t2−50 000t+c=−6 000 000t2−50 000t+cv(t)=\frac{-12~ 000~000}{2}t^2-50~000t+c=-6~000~000t^2-50~000t+c for some constant cc. Since 120=v(0)=c120=v(0)=c: v(t)=−6 000 000t2−50 000t+120v(t)=-6~000~000t^2-50~000t+120

Then after three seconds of braking,

v(33600)=−6 000 000(33600)2−50 000(33600)+120=−256−1253+120≈74.2 kph\begin{aligned}v\left(\frac{3}{3600}\right) &=-6~000~000\left(\frac{3}{3600}\right)^2-50~000\left(\frac{3}{3600}\right)+120\\ &=-\frac{25}{6}-\frac{125}{3}+120\\ &\approx 74.2 \text{ kph} \end{aligned}

Remark: When acceleration is constant, the position function is a quadratic function, but we don't want you to get the idea that position functions are always quadratic functions–in the example you just did, it was the velocity function that was quadratic. Position, velocity, and acceleration functions don't have to be polynomial at all–it's only in this section, where we're dealing with the simplest cases, that they seem that way.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.4절 · 4번우리말 번역

모형 로켓을 지면에서 수직으로 위로 쏘아 올렸다. 발사 후 tt 초 동안 로켓이 지면으로부터 이동한 거리 ss 피트는 s(t)=−16t2+560ts(t)=-16{t}^{2}+560t 로 주어진다.

a. 발사 3초 후 로켓의 속도를 구하세요. b. 발사 3초 후 로켓의 가속도를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. 464 ft/s2464{\,\text{ft/s}}^{2} b. −32 ft/s2-32{\,\text{ft/s}}^{2}

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