속도와 가속도 연습문제 — CLP-1 · 3.1절 · 9번

CLP-1 · 3.1절 · 9번우리말 번역

이 절에서는 지구에서 낙하하는 물체와 관련된 여러 문제를 낸다. 달리 언급하지 않는 한, 공기 중에서 떨어지는 물체의 중력에 의한 가속도는 매초 매초 9.8미터라고 가정하세요.

당신은 시속 120 km로 달리고 있으며, 100미터 안에 멈춰야 합니다. 브레이크는 얼마만큼의 감속도를 내야 하는지 구하세요. 브레이크가 일정한 감속도를 만든다고 가정해도 됩니다.

영어 원문 보기

For this section, we will ask you a number of questions that have to do with objects falling on Earth. Unless otherwise stated, you should assume that an object falling through the air has an acceleration due to gravity of 9.8 meters per second per second.

You are driving at 120 kph, and need to stop in 100 metres. How much deceleration do your brakes need to provide? You may assume the brakes cause a constant deceleration.

정답·풀이 보기

브레이크가 내는 감속도를 $d~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{hr}^2}$ 이라 하자. 그러면 $v(t)$ 가 자동차의 속도일 때 $v(t)=120-dt$ 이다 ( $t=0$ 에서 속도는 120이고, 1시간마다 시속 $d$ km씩 감소한다). 자동차는 $0=v(t)$ 일 때 멈추므로 $t=\frac{120}{d}$ 시간이다.

$s(t)$ 를 브레이크를 밟은 지 $t$ 시간 후까지 자동차가 이동한 거리라 하자. 그러면 $s'(t)=v(t)$ 이므로 어떤 상수 $c$ 에 대해 $s(t)=120t-\frac{d}{2}t^2+c$ 이다. $0=s(0)=c$ 이므로

$s(t)=120t-\frac{d}{2}t^2$

자동차는 100미터, 즉 $\frac{1}{10}$ 킬로미터 안에 멈춰야 한다. 앞에서 정지하는 데 걸리는 시간이 $t=\frac{120}{d}$ 임을 구했다. 따라서

$\begin{aligned} \frac{1}{10}&=s\left(\frac{120}{d}\right)\\ \frac{1}{10}&=120\left(\frac{120}{d}\right)-\frac{d}{2}\left(\frac{120}{d}\right)^2\\ \\ \text{양변에 $d$ 를 곱하면:} \\ \frac{d}{10}&=120^2-\frac{120^2}{2}\\ d&=5\cdot 120^2 \end{aligned}$

따라서 브레이크는 1시간당 시속 72 000 km의 감속도를 내야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Suppose the deceleration provided by the brakes is $d~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{hr}^2}$ . Then if $v(t)$ is the velocity of the car, $v(t)=120-dt$ (at $t=0$ , the velocity is 120, and it decreases by $d$ kph per hour). The car stops when $0=v(t)$ , so $t=\frac{120}{d}$ hours.

Let $s(t)$ be the distance the car has travelled $t$ hours after applying the brakes. Then $s'(t)=v(t)$ , so $s(t)=120t-\frac{d}{2}t^2+c$ for some constant $c$ . Since $0=s(0)=c$ , $s(t)=120t-\frac{d}{2}t^2$

The car needs to stop in 100 metres, which is $\frac{1}{10}$ kilometres. We already found that the stopping time is $t=\frac{120}{d}$ . So:

$\begin{aligned} \frac{1}{10}&=s\left(\frac{120}{d}\right)\\ \frac{1}{10}&=120\left(\frac{120}{d}\right)-\frac{d}{2}\left(\frac{120}{d}\right)^2\\ \\ \text{Multiplying both sides by $d$:} \\ \frac{d}{10}&=120^2-\frac{120^2}{2}\\ d&=5\cdot 120^2 \end{aligned}$

So, the brakes need to apply 72 000 kph per hour of deceleration.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.4절 · 10번우리말 번역

다음 그래프는 직선을 따라 움직이는 물체의 위치 $y=s(t)$ 를 나타낸 것이다.

좌표평면 위에 함수의 그래프가 그려져 있다. 그래프는 원점에서 (2, 2)까지 이어지는 포물선의 일부이며 (1.5, 2.25)에서 최댓값을 갖는다. 그 후 (5, 2)까지는 함수가 상수이고, (5, 2)에서 다시 포물선이 되어 (6, 1)에서 최솟값을 갖도록 감소한 다음 (7, 2)까지 증가한다.

a. 위치 함수의 그래프를 이용하여 속도가 양수, 음수, 0인 시간 구간을 각각 구하세요. b. 속도 함수의 그래프를 그리세요. c. 속도 함수의 그래프를 이용하여 가속도가 양수, 음수, 0인 시간 구간을 각각 구하세요. d. 물체가 빨라지는 시간 구간과 느려지는 시간 구간을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. 속도는 $(0,1.5)\cup (6,7)$ 에서 양수, $(1.5,2)\cup (5,6)$ 에서 음수, $(2,5)$ 에서 0이다. b.

그래프는 (0, 2)에서 (2, −1)까지의 직선이고, 이어서 불연속으로 (2, 0)에서 (5, 0)까지의 직선이 있으며, 다시 불연속으로 (5, −4)에서 (7, 4)까지의 직선이 있다.

c. 가속도는 $(5,7)$ 에서 양수, $(0,2)$ 에서 음수, $(2,5)$ 에서 0이다. d. 물체는 $(6,7)\cup (1.5,2)$ 에서 빨라지고 $(0,1.5)\cup (5,6)$ 에서 느려진다.

이 문제로 이어서 풀기

# 속도와 가속도활용보통자동 분류