속도와 가속도 연습문제 — CLP-1 · 3.1절 · 13번

CLP-1 · 3.1절 · 13번우리말 번역

이 절에서는 지구에서 떨어지는 물체에 관한 여러 문제를 다룹니다. 따로 말하지 않는 한, 공기 중에서 떨어지는 물체의 중력 가속도는 초당 초당 9.8미터라고 가정하세요.

송골매는 시속 325 km의 속력으로 급강하할 수 있습니다. 돌을 떨어뜨린다면, 그 돌이 떨어지면서 같은 속력에 이르려면 얼마나 높은 곳에 있어야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

For this section, we will ask you a number of questions that have to do with objects falling on Earth. Unless otherwise stated, you should assume that an object falling through the air has an acceleration due to gravity of 9.8 meters per second per second.

A peregrine falcon can dive at a speed of 325 kph. If you were to drop a stone, how high up would you have to be so that the stone reached the same speed in its fall?

정답·풀이 보기

중력에 의해 낙하하는 물체의 가속도는 초의 제곱당 $9.8$ 미터이다. 따라서 떨어뜨린 지 $t$ 초 후 물체의 속도는 $v(t)=9.8t~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 이다. $v(t)$ 가 송골매의 급강하 속력과 같아지게 하려면, 그 속력을 초속 미터로 바꾸어야 한다. $325~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{hr}}\cdot \left(\frac{1000~\mathrm{m}}{1~\mathrm{km}}\right)\left(\frac{1~\mathrm{hr}}{3600~\mathrm{sec}}\right)=\frac{1625}{18}~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 돌이 이 속도에 이르는 때는 $9.8t=\frac{1625}{18}\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{1625}{18(9.8)}$ 일 때이다.

이제 남은 것은 이 시간 동안 돌이 얼마나 떨어지는지 구하는 것이다. 돌의 위치 $s(t)$ 의 도함수가 $9.8t$ 이므로, $s(0)=0$ 으로 잡으면 $s(t)=4.9t^2$ 이다. 따라서 돌이 $\frac{1625}{18(9.8)}$ 초 동안 떨어지면, 그 시간 동안 이동한 거리는 $s\left(\frac{1625}{18(9.8)}\right)=4.9\left(\frac{1625}{18(9.8)}\right)^2\approx 416 ~\mathrm{m}$ 이다. 그러므로 돌이 송골매만큼 빠르게 떨어지게 하려면 약 416미터 높이에서 떨어뜨려야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

The acceleration of a falling object due to gravity is $9.8$ metres per second squared. So, the object's velocity $t$ seconds after being dropped is $v(t)=9.8t~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ We want $v(t)$ to be the speed of the peregrine's dive, so we should convert that to metres per second: $325~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{hr}}\cdot \left(\frac{1000~\mathrm{m}}{1~\mathrm{km}}\right)\left(\frac{1~\mathrm{hr}}{3600~\mathrm{sec}}\right)=\frac{1625}{18}~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ The stone will reach this velocity when $9.8t=\frac{1625}{18}\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{1625}{18(9.8)}$

What is left to figure out is how far the stone will fall in this time. The position of the stone $s(t)$ has derivative $9.8t$ , so $s(t)=4.9t^2$ if we take $s(0)=0$ . So, if the stone falls for $\frac{1625}{18(9.8)}$ seconds, in that time it travels $s\left(\frac{1625}{18(9.8)}\right)=4.9\left(\frac{1625}{18(9.8)}\right)^2\approx 416 ~\mathrm{m}$ So, you would have to drop a stone from about 416 metres for it to fall as fast as the falcon.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.1절 · 9번우리말 번역

이 절에서는 지구에서 낙하하는 물체와 관련된 여러 문제를 낸다. 달리 언급하지 않는 한, 공기 중에서 떨어지는 물체의 중력에 의한 가속도는 매초 매초 9.8미터라고 가정하세요.

당신은 시속 120 km로 달리고 있으며, 100미터 안에 멈춰야 합니다. 브레이크는 얼마만큼의 감속도를 내야 하는지 구하세요. 브레이크가 일정한 감속도를 만든다고 가정해도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

브레이크가 내는 감속도를 $d~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{hr}^2}$ 이라 하자. 그러면 $v(t)$ 가 자동차의 속도일 때 $v(t)=120-dt$ 이다 ( $t=0$ 에서 속도는 120이고, 1시간마다 시속 $d$ km씩 감소한다). 자동차는 $0=v(t)$ 일 때 멈추므로 $t=\frac{120}{d}$ 시간이다.

$s(t)$ 를 브레이크를 밟은 지 $t$ 시간 후까지 자동차가 이동한 거리라 하자. 그러면 $s'(t)=v(t)$ 이므로 어떤 상수 $c$ 에 대해 $s(t)=120t-\frac{d}{2}t^2+c$ 이다. $0=s(0)=c$ 이므로

$s(t)=120t-\frac{d}{2}t^2$

자동차는 100미터, 즉 $\frac{1}{10}$ 킬로미터 안에 멈춰야 한다. 앞에서 정지하는 데 걸리는 시간이 $t=\frac{120}{d}$ 임을 구했다. 따라서

$\begin{aligned} \frac{1}{10}&=s\left(\frac{120}{d}\right)\\ \frac{1}{10}&=120\left(\frac{120}{d}\right)-\frac{d}{2}\left(\frac{120}{d}\right)^2\\ \\ \text{양변에 $d$ 를 곱하면:} \\ \frac{d}{10}&=120^2-\frac{120^2}{2}\\ d&=5\cdot 120^2 \end{aligned}$

따라서 브레이크는 1시간당 시속 72 000 km의 감속도를 내야 한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 속도와 가속도활용보통자동 분류