관련 변화율 연습문제 — CLP-1 · 3.2절 · 1번

CLP-1 · 3.2절 · 1번우리말 번역

두 양 $P$ 와 $Q$ 가 공식 $P=Q^3$ 으로 관계되어 있다고 합시다. $P$ 와 $Q$ 는 시간 $t$ 에 따라 변합니다. 이 정보가 주어졌을 때, 다음 중 풀 수 있는 문제를 모두 고르세요.

ⅰ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. (기억하세요: 기호 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 은 시각 $t=0$ 에서 $P$ 의 $t$ 에 대한 미분계수를 뜻합니다.) ⅱ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $Q$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅲ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅳ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $P$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the quantities $P$ and $Q$ are related by the formula $P=Q^3$ . $P$ and $Q$ are changing with respect to time, $t$ . Given this information, which of the following are problems you could solve?

i. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ . (Remember: the notation $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ means the derivative of $P$ with respect to $t$ at the time $t=0$ .) ii. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ and the value of $Q$ when $t=0$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ . iii. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ . iv. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ and the value of $P$ when $t=0$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ .

정답·풀이 보기

$P$ 와 $Q$ 를 관계짓는 등식이 있다:

$\begin{aligned} P&=Q^3 \\ \text{제3의 변수 $t$ 에 대해 음함수 미분한다:} \\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=3Q^2\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

세 양 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ , $Q$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있다. 따라서 ⅱ는 풀 수 있는 문제이다. $P$ 를 알면 $Q$ 도 알 수 있으므로( $P$ 의 세제곱근이다), ⅳ도 풀 수 있다. 그러나 $P$ 와 $Q$ 를 둘 다 모르면, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없고, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없다. 따라서 ⅰ과 ⅲ은 풀 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

We have an equation relating $P$ and $Q$ :

$\begin{aligned} P&=Q^3 \\ \text{We differentiate implicitly with respect to a third variable, $t$:} \\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=3Q^2\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

If we know two of the three quantities $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ , $Q$ , and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ , then we can find the third. Therefore, ii is a question we can solve. If we know $P$ , then we also know $Q$ (it's just the cube root of $P$ ), so also we can solve iv. However, if we know neither $P$ nor $Q$ , then we can't find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ based only off $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ , and we can't find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ based only off $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ . So we can't solve i or iii.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.1절 · 1번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식에 대한 값을 구하세요.

$\frac{dx}{dt}=4$ 일 때, $x=1$ 과 $y={x}^{2}+3$ 에서 $\frac{dy}{dt}$ 를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$8$

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