선형근사와 미분소 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 1번

CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 가 함수이고, $x=5$ 근처에서의 선형 근사를 계산하여 $f(x) \approx 3x-9$ 를 얻었다고 하자.

(a) $f(5)$ 는 얼마입니까? (b) $f'(5)$ 는 얼마입니까? (c) $f(0)$ 은 얼마입니까?

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function, and we calculated its linear approximation near $x=5$ to be $f(x) \approx 3x-9$ .

(a) What is $f(5)$ ? (b) What is $f'(5)$ ? (c) What is $f(0)$ ?

정답·풀이 보기

선형 근사는 $L(x)=3x-9$ 이다. $x=5$ 에서 근사하므로 $f(5)=L(5)$ 이고 $f'(5)=L'(5)$ 이다. 그러나 $x \neq 5$ 일 때 $f(x)$ 와 $L(x)$ 의 값이 같다는 보장은 없다. 따라서

(a) $f(5)=L(5)=6$

(b) $f'(5)=L'(5)=3$

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation is $L(x)=3x-9$ . Since we're approximating at $x=5$ , $f(5)=L(5)$ , and $f'(5)=L'(5)$ . However, there is no guarantee that $f(x)$ and $L(x)$ have the same value when $x \neq 5$ . So:

(a) $f(5)=L(5)=6$

(b) $f'(5)=L'(5)=3$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.8절 · 8번우리말 번역

감자를 오븐에 넣고, 여러 시점에서 감자의 온도 $F$ (화씨 도)를 측정하여 다음 표에 기록하였다. 시간 $t$ 는 분 단위로 측정한다.

감자의 온도 자료.

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$F(t)$	$65$	$94.7$	$141.7$	$167.6$	$182.4$	$197.9$	$209.3$

(a) 중심차분을 이용하여 $F'(30)$ 을 어림하세요. 이후의 문제에서는 필요한 경우 이 어림값을 사용하세요. (b) $a = 30$ 인 점에서 함수 $y = F(t)$ 의 국소선형근사 $y = L(t)$ 를 구하세요. (c) 국소선형근사를 이용하여 $F(33)$ 의 어림값을 구하세요. (d) (c)에서 구한 어림값이 실제보다 너무 크다고 생각하나요, 아니면 너무 작다고 생각하나요? 그 이유는 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) $h=10$ 으로 중심차분 근사를 하면 $F'(30) \approx \frac{F(40)-F(20)}{20} = \frac{182.4-141.1}{20} = 2.065$ 이므로 분당 화씨 2.065도이다. (b) $a=30$ 에서의 국소선형근사는 $L(t) = F'(30)(t-30)+F(30) = L(t) \approx 2.065(t-30) + 167.6$ 이다. (c) (b)에서 구한 선형근사를 이용하면 $F(33) \approx L(33) \approx 2.065(3) + 167.6 = 173.795$ 화씨 도이다. (d) 표에 주어진 $F(t)$ 의 값은 $t = 30$ 근처에서 증가하되 증가하는 비율이 점점 줄어드는 것으로 보이므로, $F$ 의 그래프는 $t = 30$ 근처에서 위로 볼록하다. 따라서 $L(t)$ 의 그래프( $F$ 의 $t = 30)$ 에서의 접선)는 $F$ 의 그래프보다 위쪽에 놓인다. 그러므로 (c)에서 구한 어림값은 아마도 실제보다 크게 어림한 것이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 선형근사와 미분소계산기본자동 분류