선형근사와 미분소 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 4번

CLP-1 · 3.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $x=0.93$ 일 때 $\log(x)$ 의 값을 어림하세요. 곡선 $y=f(x)$ 와 선형 근사의 그래프를 그리세요.

(씨엘피-1 교재에서는 $\log x$ 가 $x$ 의 자연로그 $\log_e x$ 를 뜻한다는 점을 기억하세요.)

영어 원문 보기

Use a linear approximation to estimate $\log(x)$ when $x=0.93$ . Sketch the curve $y=f(x)$ and your linear approximation.

(Remember that in CLP-1 we use $\log x$ to mean the natural logarithm of $x$ , $\log_e x$ .)

정답·풀이 보기

$f(0.93)$ 이 얼마인지는 알 수 없지만, 0.93 은 1 에 매우 가깝고 $f(1)$ 은 분명히 알고 있다. $x=1$ 근처에서 $f(x)$ 의 선형 근사는 다음과 같이 주어진다.

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1) \\ \text{따라서 다음을 계산한다:} \\ f(1)&=\log(1)=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\\ f'(1)&=\frac{1}{1}=1 \\ \text{그러므로} \\ f(x) &\approx 0+1(x-1)=x-1 \\ \text{$x=0.93$ 일 때:} \\ f(0.93) &\approx 0.93-1=-0.07 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We have no idea what $f(0.93)$ is, but 0.93 is pretty close to 1, and we definitely know $f(1)$ . The linear approximation of $f(x)$ about $x=1$ is given by

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1) \\ \text{So, we calculate:} \\ f(1)&=\log(1)=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\\ f'(1)&=\frac{1}{1}=1 \\ \text{Therefore,} \\ f(x) &\approx 0+1(x-1)=x-1 \\ \text{When $x=0.93$:} \\ f(0.93) &\approx 0.93-1=-0.07 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 3번우리말 번역

함수 $f(x)=2x+5$ 의 $x=a$ 에서의 선형 근사를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

임의의 상수 $a$ 에 대해 $f(a)=(2a+5)$ 이고 $f'(a)=2$ 이므로, 근사하면 $f(x) \approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5$

$f(x)$ 자체가 일차함수이므로 선형 근사는 사실 $f(x)$ 그 자체이다. 따라서 선형 근사는 모든 $x$ 의 값에 대해 완벽하게 정확하다.

이 문제로 이어서 풀기

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석보통자동 분류