선형근사와 미분소 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 5번

CLP-1 · 3.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $\sqrt{5}$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Use a linear approximation to estimate $\sqrt{5}$ .

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4 는 완전제곱수이고 5 에 가까우므로, 함수 $f(x)=\sqrt{x}$ 를 $x=4$ 에서 근사한다.

$\begin{aligned} f(4)&=\sqrt{4}=2\\ f'(x)&=\frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \Rightarrow \qquad f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}\\ f(x) &\approx f(4)+f'(4)(x-4)=2+\frac{1}{4}(x-4)\\ f(5)&\approx 2+\frac{1}{4}(5-4)=\frac{9}{4} \end{aligned}$

$\sqrt{5}\approx\dfrac{9}{4}$ 로 어림한다.

참고: $\left(\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{81}{16}$ 이고, 이는 $\dfrac{80}{16}=5$ 에 꽤 가깝다. 따라서 이 근삿값은 꽤 좋아 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

We approximate the function $f(x)=\sqrt{x}$ about $x=4$ , since 4 is a perfect square and it is close to 5.

We estimate $\sqrt{5}\approx\dfrac{9}{4}$ .

Remark: $\left(\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{81}{16}$ , which is pretty close to $\dfrac{80}{16}=5$ . Our approximation seems pretty good.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 4번우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $x=0.93$ 일 때 $\log(x)$ 의 값을 어림하세요. 곡선 $y=f(x)$ 와 선형 근사의 그래프를 그리세요.

(씨엘피-1 교재에서는 $\log x$ 가 $x$ 의 자연로그 $\log_e x$ 를 뜻한다는 점을 기억하세요.)

다 풀었으면 정답 확인

$f(0.93)$ 이 얼마인지는 알 수 없지만, 0.93 은 1 에 매우 가깝고 $f(1)$ 은 분명히 알고 있다. $x=1$ 근처에서 $f(x)$ 의 선형 근사는 다음과 같이 주어진다.

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1) \\ \text{따라서 다음을 계산한다:} \\ f(1)&=\log(1)=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\\ f'(1)&=\frac{1}{1}=1 \\ \text{그러므로} \\ f(x) &\approx 0+1(x-1)=x-1 \\ \text{$x=0.93$ 일 때:} \\ f(0.93) &\approx 0.93-1=-0.07 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 선형근사와 미분소계산보통자동 분류