선형근사와 미분소 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 8번

CLP-1 · 3.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 가 어떤 함수이고 $f(b)$ 를 어림하려 한다고 가정하세요. 이를 위해 값 $a$ 를 택하고 $a$ 에서 $f(x)$ 의 (선형 또는 상수) 근사를 사용합니다. 상수 근사가 선형 근사보다 $f(b)$ 를 더 정확하게 어림하는 함수 $f(x)$ 와 값 $a$ , $b$ 의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Imagine $f(x)$ is some function, and you want to estimate $f(b)$ . To do this, you choose a value $a$ and take an approximation (linear or constant) of $f(x)$ about $a$ . Give an example of a function $f(x)$ , and values $a$ and $b$ , where the constant approximation gives a more accurate estimation of $f(b)$ than the linear approximation.

정답·풀이 보기

가능한 답은 여러 가지이다. 그중 하나는 다음과 같다. $f(x)=\sin x \qquad a=0 \qquad b=\pi$ $f(\pi)=0$ 이고 $f(0)=0$ 임을 안다. $x=0$ 에서 $f(x)$ 의 상수 근사를 사용하면 $f(\pi)\approx f(0)=0$ 으로 어림되며, 이는 정확한 값과 같다. 그러나 $x=0$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사를 만들면 $f(\pi) \approx f(0)+f'(0)(\pi-0)=\sin(0)+\cos(0)\pi=\pi$ 가 되고, 이는 정확한 값이 아니다.

참고: 실제로는 $\sin(\pi)$ 의 값을 정확히 알고 있으므로 이를 어림하지 않는다. 이 문제의 목적은 더 정교한 근사가 항상 더 정확한 것은 아님을 보여 주는 것이다. 이 절의 끝에서, 어림한 값이 충분히 정확한지 확인할 수 있도록 어림의 오차를 어떻게 한정하는지 다룰 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

There are many possible answers. One is: $f(x)=\sin x \qquad a=0 \qquad b=\pi$ We know that $f(\pi)=0$ and $f(0)=0$ . Using a constant approximation of $f(x)$ about $x=0$ , our estimation is $f(\pi)\approx f(0)=0$ , which is exactly the correct value. However, is we make a linear approximation of $f(x)$ about $x=0$ , we get $f(\pi) \approx f(0)+f'(0)(\pi-0)=\sin(0)+\cos(0)\pi=\pi$ which is not exactly the correct value.

Remark: in reality, we wouldn't estimate $\sin(\pi)$ , because we know its value exactly. The purpose of this problem is to demonstrate that fancier approximations are not always more accurate. At the end of this section, we'll talk about how to bound the error of your estimations, to make sure that you are finding something sufficiently accurate.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 7번우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $10.1^3$ 의 값을 어림하고, 어림한 값을 실제 값과 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)=x^3$ 이면 $f(10.1)=10.1^3$ 이고, 이것이 우리가 어림하려는 값이다. $x=10$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사를 구해 보자.

$\begin{aligned} f(10)&=10^3=1000\\ f'(x)&=3x^2\\ f'(10)&=3(10^2)=300\\ f(a) &\approx f(10)+f'(10)(x-10)\\ &=1000+300(x-10)\\ f(10.1)& \approx 1000+300(10.1-10)=1030 \end{aligned}$

따라서 $10.1^3 \approx 1030$ 으로 어림한다. $10.1^3$ 을 정확하게 계산하면(손으로도 충분히 계산할 수 있다) 1030.301 이다.

참고: 앞 절에서는 상수 근사를 이용하여 $10.1^3 \approx 1000$ 으로 어림했다. 그 어림은 몇 초 만에 머릿속으로 쉽게 할 수 있었다. 선형 근사는 더 정확하지만, $10.1^3$ 을 그냥 계산하는 것보다 그리 빠르지는 않다.

이 문제로 이어서 풀기

# 선형근사와 미분소계산도전자동 분류