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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

선형근사와 미분소

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

함수 L(x)=14x+4π−2712L(x)=\frac{1}{4}x+\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12} 은 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 의 어느 점 x=ax=a 에서의 선형 근사인지 구하세요.

영어 원문 보기

The function L(x)=14x+4π−2712L(x)=\frac{1}{4}x+\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12} is the linear approximation of f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x about what point x=ax=a?

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정답·풀이 보기

x=ax=a 에서 f(x)f(x) 의 선형 근사 L(x)L(x) 는 L(a)=f(a)L(a)=f(a) 이고 L′(a)=f′(a)L'(a)=f'(a) 가 되도록 정해진다. 따라서

L′(a)=f′(a)=11+a214=11+a2a=±3a 는 3 또는 −3 으로 좁혀졌다. x=a 에서 f(x) 의 선형 근사는 f(a)+f′(a)(x−a) 이므로, 그 상수항은 f(a)−af′(a)=arctan⁡(a)−a1+a2 임을 떠올리자. 이를 a=3 과 a=−3 에 대해 계산한다.a=3:  arctan⁡(a)−a1+a2=arctan⁡(3)−31+(3)2=π3−34=4π−2712a=−3:  arctan⁡(a)−a1+a2=arctan⁡(−3)−−31+(−3)2=−π3+34=−4π+2712따라서 a=3 일 때,L(x)=14x+4π−2712\begin{aligned} L'(a)&= f'(a)=\dfrac{1}{1+a^2}\\ \frac{1}{4}&=\frac{1}{1+a^2}\\ a&=\pm\sqrt{3} \\ \text{$a$ 는 $\sqrt{3}$ 또는 $-\sqrt{3}$ 으로 좁혀졌다. $x=a$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사는 $f(a)+f'(a)(x-a)$ 이므로, 그 상수항은 $f(a)-af'(a)=\arctan(a)-\dfrac{a}{1+a^2}$ 임을 떠올리자. 이를 $a=\sqrt{3}$ 과 $a=-\sqrt{3}$ 에 대해 계산한다.} \\ a=\sqrt{3}:~&~\arctan\left(a\right)-\frac{a}{1+a^2} =\arctan\left(\sqrt{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{1+\left(\sqrt{3}\right)^2}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12}\\ a=-\sqrt{3}:~&~\arctan\left(a\right)-\frac{a}{1+a^2} =\arctan\left(-\sqrt{3}\right)-\frac{-\sqrt{3}}{1+\left(-\sqrt{3}\right)^2}=-\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{-4\pi+\sqrt{27}}{12} \\ \text{따라서 $a=\sqrt{3}$ 일 때,} \\ L(x)&=\frac{1}{4}x+\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12} \end{aligned}

이고, 이는 a=−3a=-\sqrt{3} 일 때는 성립하지 않는다. 따라서 a=3a=\sqrt{3} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation L(x)L(x) of f(x)f(x) about x=ax=a is chosen so that L(a)=f(a)L(a)=f(a) and L′(a)=f′(a)L'(a)=f'(a). So,

L′(a)=f′(a)=11+a214=11+a2a=±3We’ve narrowed down a to 3 or −3. Recall the linear approximation of f(x) about x=a is f(a)+f′(a)(x−a), so its constant term is f(a)−af′(a)=arctan⁡(a)−a1+a2. We compute this for a=3 and a=−3.a=3:  arctan⁡(a)−a1+a2=arctan⁡(3)−31+(3)2=π3−34=4π−2712a=−3:  arctan⁡(a)−a1+a2=arctan⁡(−3)−−31+(−3)2=−π3+34=−4π+2712So, when a=3,L(x)=14x+4π−2712\begin{aligned} L'(a)&= f'(a)=\dfrac{1}{1+a^2}\\ \frac{1}{4}&=\frac{1}{1+a^2}\\ a&=\pm\sqrt{3} \\ \text{We've narrowed down $a$ to $\sqrt{3}$ or $-\sqrt{3}$. Recall the linear approximation of $f(x)$ about $x=a$ is $f(a)+f'(a)(x-a),$ so its constant term is $f(a)-af'(a)=\arctan(a)-\dfrac{a}{1+a^2}$. We compute this for $a=\sqrt{3}$ and $a=-\sqrt{3}$.} \\ a=\sqrt{3}:~&~\arctan\left(a\right)-\frac{a}{1+a^2} =\arctan\left(\sqrt{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{1+\left(\sqrt{3}\right)^2}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12}\\ a=-\sqrt{3}:~&~\arctan\left(a\right)-\frac{a}{1+a^2} =\arctan\left(-\sqrt{3}\right)-\frac{-\sqrt{3}}{1+\left(-\sqrt{3}\right)^2}=-\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{-4\pi+\sqrt{27}}{12} \\ \text{So, when $a=\sqrt{3}$,} \\ L(x)&=\frac{1}{4}x+\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12} \end{aligned}

and this does not hold when a=−3a=-\sqrt{3}. We conclude a=3a=\sqrt{3}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 8번우리말 번역

f(x)f(x) 가 어떤 함수이고 f(b)f(b) 를 어림하려 한다고 가정하세요. 이를 위해 값 aa 를 택하고 aa 에서 f(x)f(x) 의 (선형 또는 상수) 근사를 사용합니다. 상수 근사가 선형 근사보다 f(b)f(b) 를 더 정확하게 어림하는 함수 f(x)f(x) 와 값 aa, bb 의 예를 하나 드세요.

다 풀었으면 정답 확인

가능한 답은 여러 가지이다. 그중 하나는 다음과 같다. f(x)=sin⁡xa=0b=πf(x)=\sin x \qquad a=0 \qquad b=\pi f(π)=0f(\pi)=0 이고 f(0)=0f(0)=0 임을 안다. x=0x=0 에서 f(x)f(x) 의 상수 근사를 사용하면 f(π)≈f(0)=0f(\pi)\approx f(0)=0 으로 어림되며, 이는 정확한 값과 같다. 그러나 x=0x=0 에서 f(x)f(x) 의 선형 근사를 만들면 f(π)≈f(0)+f′(0)(π−0)=sin⁡(0)+cos⁡(0)π=πf(\pi) \approx f(0)+f'(0)(\pi-0)=\sin(0)+\cos(0)\pi=\pi 가 되고, 이는 정확한 값이 아니다.

그림

참고: 실제로는 sin⁡(π)\sin(\pi) 의 값을 정확히 알고 있으므로 이를 어림하지 않는다. 이 문제의 목적은 더 정교한 근사가 항상 더 정확한 것은 아님을 보여 주는 것이다. 이 절의 끝에서, 어림한 값이 충분히 정확한지 확인할 수 있도록 어림의 오차를 어떻게 한정하는지 다룰 것이다.

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