극대와 극소 연습문제 — CLP-1 · 3.5절 · 1번

CLP-1 · 3.5절 · 1번우리말 번역

아래 그래프에 나타난 $f(x)$ 의 임계점과 특이점을 모두 찾으세요.

이 중 극값에 해당하는 것은 어느 것인가요?

영어 원문 보기

Identify every critical point and every singular point of $f(x)$ shown on the graph below.

Which correspond to local extrema?

정답·풀이 보기

$x=0$ 일 때 곡선 $y=f(x)$ 의 접선이 수평인 것으로 보이므로 $x=0$ 은 임계점이다. 그러나 이 점은 극값이 아니다. $0$ 근처의 모든 $x$ 에 대해 $f(0) \geq f(x)$ 인 것도 아니고, $0$ 근처의 모든 $x$ 에 대해 $f(0) \leq f(x)$ 인 것도 아니기 때문이다.

$x$ 축의 오른쪽에는 $f(x)$ 의 도함수가 존재하지 않는 뾰족한 점이 있다. 이 뾰족한 점에 해당하는 $x$ 값(이를 $a$ 라 하자)은 특이점이며, $f(x)$ 는 $x=a$ 에서 극댓값을 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

When $x=0$ , the curve $y=f(x)$ appears to have a flat tangent line, so the $x=0$ is a critical point. However, it is not a local extremum: it is not true that $f(0) \geq f(x)$ for all $x$ near 0, and it is not true that $f(0) \leq f(x)$ for all $x$ near 0.

To the right of the $x$ -axis, there is a spike where the derivative of $f(x)$ does not exist. The $x$ -value corresponding to this spike (call it $a$ ) is a singular point, and $f(x)$ has a local maximum at $x=a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.3절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 정의역에서 함수의 극값 및/또는 최댓값·최솟값을 구하세요.

$[0,2\pi ]$ 에서 $y=\sin x+\cos x$

다 풀었으면 정답 확인

최댓값: $x=\frac{\pi }{4},$ $y=\sqrt{2}$ ; 최솟값: $x=\frac{5\pi }{4},$ $y=-\sqrt{2}$

이 문제로 이어서 풀기

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