최댓값·최솟값과 최적화 연습문제 — CLP-1 · 3.5절 · 2번

CLP-1 · 3.5절 · 2번우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된다
$f(x)$ 는 항상 양수이다
$f(x)$ 는 최댓값도 최솟값도 갖지 않는다.

영어 원문 보기

Sketch a function $f(x)$ such that:

$f(x)$ is defined over all real numbers
$f(x)$ is always positive
$f(x)$ has no global max and no global min.

정답·풀이 보기

아래에 두 가지 예가 있지만, 가능한 예는 많다.

$f(x)=e^x$ 이면 모든 $x$ 에 대해 $f(x) > 0$ 이다. $x$ 축을 따라 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 작아져 0 에 가까워지지만 0 에 이르지는 않는다. 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 가 점점 작아지므로 최솟값은 없다. 마찬가지로 오른쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 커지므로 최댓값도 없다.

$f(x)=\arctan(x)+2$ 이면 모든 $x$ 에 대해 $f(x) >\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2>0$ 이다.

$x$ 축을 따라 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 작아져 $\left(-\frac{\pi}{2}+2\right)$ 에 가까워지지만 그 값에 이르지는 않는다. 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 가 점점 작아지므로 최솟값은 없다.

마찬가지로 $x$ 축을 따라 오른쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 커져 $\left(\frac{\pi}{2}+2\right)$ 에 가까워지지만 그 값에 이르지는 않는다. 오른쪽으로 갈수록 $f(x)$ 가 점점 커지므로 최댓값은 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Two examples are given below, but many are possible.

If $f(x)=e^x$ , then $f(x) > 0$ for all $x$ . As we move left along the $x$ -axis, $f(x)$ gets smaller and smaller, approaching 0 but never reaching it. Since $f(x)$ gets smaller and smaller as we move left, there is no global minimum. Likewise, $f(x)$ increases more and more as we move right, so there is no maximum.

If $f(x)=\arctan(x)+2$ , then $f(x) >\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2>0$ for all $x$ .

As we move left along the $x$ -axis, $f(x)$ gets smaller and smaller, approaching $\left(-\frac{\pi}{2}+2\right)$ but never reaching it. Since $f(x)$ gets smaller and smaller as we move left, there is no global minimum.

Likewise, as we move right along the $x$ -axis, $f(x)$ gets bigger and bigger, approaching $\left(\frac{\pi}{2}+2\right)$ but never reaching it. Since $f(x)$ gets bigger and bigger as we move right, there is no global maximum.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.5절 · 3번우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된다
$f(x)$ 는 $x=5$ 에서 최솟값을 갖는다
$f(x)$ 는 $x=-5$ 에서도 최솟값을 갖는다.

다 풀었으면 정답 확인

$f(5)$ 가 최솟값이므로 모든 $x$ 에 대해 $f(5) \leq f(x)$ 이고, 특히 $f(5) \leq f(-5)$ 이다.

마찬가지로 모든 $x$ 에 대해 $f(-5) \leq f(x)$ 이므로, 특히 $f(-5) \leq f(5)$ 이다.

$f(-5) \leq f(5)$ 이고 $f(5) \leq f(-5)$ 이므로 $f(-5)=f(5)$ 이어야 한다.

이러한 그래프의 하나를 그리면 아래와 같다.

이 문제로 이어서 풀기

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석기본자동 분류