최댓값·최솟값과 최적화 연습문제 — CLP-1 · 3.5절 · 4번

CLP-1 · 3.5절 · 4번우리말 번역

$f(x)=x^2+6x-10$ 이다. 구간 $[-5,5]$ 에서 최댓값과 최솟값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

$f(x)=x^2+6x-10$ . Find all global extrema on the interval $[-5,5]$

정답·풀이 보기

최댓값과 최솟값은 구간 $(-5,5)$ 안의 임계점이나 특이점, 또는 끝점 $x=5,\,x=-5$ 에서 나타난다.

$f'(x)=2x+6$ 이다. 이는 모든 실수에서 정의되므로 특이점은 없다. $f'(x)=0$ 인 경우는 $x=-3$ 일 때뿐이다. 이 값은 구간 $[-5,5]$ 안에 있다. 따라서 확인할 점은 $x=-3,\,x=-5$ , 그리고 $x=5$ 이다.

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -5 & 5 \\ \hline \text{종류} & \text{임계점} & \text{끝점} & \text{끝점} \\ \hline f(c) & -19 & -15 & 45 \\ \hline \end{array}$

최댓값은 $x=5$ 에서 45 이고, 최솟값은 $x=-3$ 에서 $-19$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Global extrema will occur at critical or singular points in the interval $(-5,5)$ or at the endpoints $x=5,\,x=-5$ .

$f'(x)=2x+6$ . Since this is defined for all real numbers, there are no singular points. The only time $f'(x)=0$ is when $x=-3$ . This is inside the interval $[-5,5]$ . So, our points to check are $x=-3,\,x=-5,$ and $x=5$ .

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -5 & 5 \\ \hline \text{type} & \text{critical point} & \text{endpoint} & \text{endpoint} \\ \hline f(c) & -19 & -15 & 45 \\ \hline \end{array}$

The global maximum is 45 at $x=5$ and the global minimum is $-19$ at $x=-3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.5절 · 5번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-30x+7$ . 구간 $[-4,0]$ 에서 모든 최댓값과 최솟값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

최댓값과 최솟값은 구간의 양 끝점 $x=-4$ , $x=0$ 에서 나타나거나, 구간 안의 특이점 또는 임계점에서 나타난다. $f(x)$ 는 다항식이므로 모든 점에서 미분가능하고, 따라서 특이점은 없다. 임계점을 구하기 위해 도함수를 0과 같다고 놓는다.

$\begin{aligned} f'(x)&=2x^2-4x-30\\ 0&=2x^2-4x-30 &=(2x-10)(x+3)\\ x&=5,\,-3 \end{aligned}$

구간 안에 있는 임계점은 $x=-3$ 뿐이다.

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -4 & 0 \\ \hline \text{종류} & \text{임계점} & \text{끝점} & \text{끝점} \\ \hline f(c) & 61 & \frac{157}{3}=52+\frac{1}{3} & 7 \\ \hline \end{array}$

이 구간에서 최댓값은 $x=-3$ 일 때 $61$ 이고, 최솟값은 $x=0$ 일 때 $7$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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