최댓값·최솟값과 최적화 연습문제 — CLP-1 · 3.5절 · 5번

CLP-1 · 3.5절 · 5번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-30x+7$ . 구간 $[-4,0]$ 에서 모든 최댓값과 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-30x+7$ . Find all global extrema on the interval $[-4,0]$ .

정답·풀이 보기

최댓값과 최솟값은 구간의 양 끝점 $x=-4$ , $x=0$ 에서 나타나거나, 구간 안의 특이점 또는 임계점에서 나타난다. $f(x)$ 는 다항식이므로 모든 점에서 미분가능하고, 따라서 특이점은 없다. 임계점을 구하기 위해 도함수를 0과 같다고 놓는다.

$\begin{aligned} f'(x)&=2x^2-4x-30\\ 0&=2x^2-4x-30 &=(2x-10)(x+3)\\ x&=5,\,-3 \end{aligned}$

구간 안에 있는 임계점은 $x=-3$ 뿐이다.

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -4 & 0 \\ \hline \text{종류} & \text{임계점} & \text{끝점} & \text{끝점} \\ \hline f(c) & 61 & \frac{157}{3}=52+\frac{1}{3} & 7 \\ \hline \end{array}$

이 구간에서 최댓값은 $x=-3$ 일 때 $61$ 이고, 최솟값은 $x=0$ 일 때 $7$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Global extrema will occur at the endpoints of the interval, $x=-4$ and $x=0$ , or at singular or critical points inside the interval. Since $f(x)$ is a polynomial, it is differentiable everywhere, so there are no singular points. To find the critical points, we set the derivative equal to zero.

$\begin{aligned} f'(x)&=2x^2-4x-30\\ 0&=2x^2-4x-30 &=(2x-10)(x+3)\\ x&=5,\,-3 \end{aligned}$

The only critical point inside the interval is $x=-3$ .

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -4 & 0 \\ \hline \text{type} & \text{critical point} & \text{endpoint} & \text{endpoint} \\ \hline f(c) & 61 & \frac{157}{3}=52+\frac{1}{3} & 7 \\ \hline \end{array}$

The global maximum over the interval is $61$ at $x=-3$ , and the global minimum is $7$ at $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.5절 · 2번우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된다
$f(x)$ 는 항상 양수이다
$f(x)$ 는 최댓값도 최솟값도 갖지 않는다.

다 풀었으면 정답 확인

아래에 두 가지 예가 있지만, 가능한 예는 많다.

$f(x)=e^x$ 이면 모든 $x$ 에 대해 $f(x) > 0$ 이다. $x$ 축을 따라 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 작아져 0 에 가까워지지만 0 에 이르지는 않는다. 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 가 점점 작아지므로 최솟값은 없다. 마찬가지로 오른쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 커지므로 최댓값도 없다.

$f(x)=\arctan(x)+2$ 이면 모든 $x$ 에 대해 $f(x) >\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2>0$ 이다.

$x$ 축을 따라 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 작아져 $\left(-\frac{\pi}{2}+2\right)$ 에 가까워지지만 그 값에 이르지는 않는다. 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 가 점점 작아지므로 최솟값은 없다.

마찬가지로 $x$ 축을 따라 오른쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 커져 $\left(\frac{\pi}{2}+2\right)$ 에 가까워지지만 그 값에 이르지는 않는다. 오른쪽으로 갈수록 $f(x)$ 가 점점 커지므로 최댓값은 없다.

이 문제로 이어서 풀기

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