함수의 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.6절 · 2번

CLP-1 · 3.6절 · 2번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{e^x}{x+3}$ 이 증가하는 가장 큰 열린구간을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the largest open interval on which $f(x)=\dfrac{e^x}{x+3}$ is increasing.

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$f(x)$ 의 정의역은 $-3$ 을 제외한 모든 실수이다( $x=-3$ 일 때 분모가 $0$ 이기 때문이다). $x\neq -3$ 에서 몫의 미분법으로 미분하면 다음과 같다. $f'(x)=\frac{e^x(x+3) - e^x(1)}{(x+3)^2} = \frac{e^x}{(x+3)^2} (x+2)$ $f(x)$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $e^x$ 와 $(x+3)^2$ 은 양수이므로, $f'(x)$ 의 부호는 $x+2$ 의 부호와 같다. 따라서 $f(x)$ 는 정의역에 속하면서 $x+2>0$ 인 모든 $x$ 에서 증가한다. 즉, 열린구간 $(-2,\infty)$ 에서 증가한다.

원본 교재 풀이(영어)

The domain of $f(x)$ is all real numbers except $-3$ (because when $x=-3$ the denominator is zero). For $x\neq -3$ , we differentiate using the quotient rule: $f'(x)=\frac{e^x(x+3) - e^x(1)}{(x+3)^2} = \frac{e^x}{(x+3)^2} (x+2)$ Since $e^x$ and $(x+3)^2$ are positive for every $x$ in the domain of $f(x)$ , the sign of $f'(x)$ is the same as the sign of $x+2$ . We conclude that $f(x)$ is increasing for every $x$ in its domain with $x+2>0$ . That is, over the open interval $(-2,\infty)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.6절 · 4번우리말 번역

함수 $f(x)=2\arctan (x) - \log(1+x^2)$ 이 증가하는 가장 큰 열린구간을 구하세요.

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아크탄젠트의 정의역은 모든 실수이다. 로그 함수의 정의역은 모든 양수이고, $1+x^2$ 은 모든 $x$ 에 대해 양수이다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 모든 실수이다.

$f(x)$ 가 증가하는 구간을 찾기 위해 $f'(x)$ 가 양수인 곳을 찾는다. $f'(x)= \frac 2 {1+x^2} - \frac{2x}{1+x^2} = \frac{2-2x}{1+x^2}$ 분모는 항상 양수이므로 $f(x)$ 는 $2-2x>0$ 일 때 증가한다. 따라서 $f(x)$ 는 열린구간 $(-\infty,1)$ 에서 증가한다고 결론짓는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 증가와 감소계산보통자동 분류