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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

로피탈 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→1x3−ex−1sin⁡(πx)\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^3-e^{x-1}}{\sin(\pi x)} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→1x3−ex−1sin⁡(πx)\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^3-e^{x-1}}{\sin(\pi x)}.

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분자와 분모에 x=1x=1 을 대입하면 둘 다 0이다. 따라서 로피탈의 정리를 적용할 수 있는 부정형이다.

lim⁡x→1x3−ex−1sin⁡(πx)⏟num→0den→0=lim⁡x→13x2−ex−1πcos⁡(πx)=−2π\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 1}\underbrace{\frac{x^3-e^{x-1}}{\sin(\pi x)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num} \to 0}{\mathrm{den} \to 0}} =\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{3x^2-e^{x-1}}{\pi\cos(\pi x)} =-\frac{2}{\pi}\end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

If we plug in x=1x=1 to the numerator and the denominator, we find they are both zero. So, we have an indeterminate form appropriate for L'Hopital's Rule.

lim⁡x→1x3−ex−1sin⁡(πx)⏟num→0den→0=lim⁡x→13x2−ex−1πcos⁡(πx)=−2π\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 1}\underbrace{\frac{x^3-e^{x-1}}{\sin(\pi x)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num} \to 0}{\mathrm{den} \to 0}} =\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{3x^2-e^{x-1}}{\pi\cos(\pi x)} =-\frac{2}{\pi}\end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 5번우리말 번역

lim⁡x→0+log⁡xx\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\log x}{x} 의 값을 구하세요. (기억하세요: 이 노트에서 log⁡\log 는 밑이 ee 인 로그를 뜻합니다.)

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주의하자. 이것은 부정형이 아니다!

x→0+x\rightarrow 0+ 일 때 분자 log⁡x→−∞\log x\rightarrow-\infty 이다. 즉, 분자는 절댓값이 한없이 커지는 음수가 된다. x→0+x\rightarrow 0+ 일 때 분모 x→0+x\rightarrow 0+ 이므로, 분수 전체는 절댓값이 더욱 커지고 여전히 음수이다. 따라서 lim⁡x→0+log⁡xx=−∞\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\log x}{x} =-\infty 이다.

참고: 여기서 로피탈의 정리를 사용하려 했다면 잘못된 답이 나왔을 것이다. 분자와 분모를 각각 미분하면 분수는 1x1=1x\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x} 이 되고, lim⁡x→0+1x=∞\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty 이다. 로피탈의 정리를 적용할 수 없는 이유는 분자와 분모가 모두 무한대로 가거나 모두 0으로 가는 것과 같은 부정형이 아니기 때문이다.

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