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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

로피탈 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0+log⁡xx\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\log x}{x} 의 값을 구하세요. (기억하세요: 이 노트에서 log⁡\log 는 밑이 ee 인 로그를 뜻합니다.)

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→0+log⁡xx\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\log x}{x}. (Remember: in these notes, log⁡\log means logarithm base ee.)

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주의하자. 이것은 부정형이 아니다!

x→0+x\rightarrow 0+ 일 때 분자 log⁡x→−∞\log x\rightarrow-\infty 이다. 즉, 분자는 절댓값이 한없이 커지는 음수가 된다. x→0+x\rightarrow 0+ 일 때 분모 x→0+x\rightarrow 0+ 이므로, 분수 전체는 절댓값이 더욱 커지고 여전히 음수이다. 따라서 lim⁡x→0+log⁡xx=−∞\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\log x}{x} =-\infty 이다.

참고: 여기서 로피탈의 정리를 사용하려 했다면 잘못된 답이 나왔을 것이다. 분자와 분모를 각각 미분하면 분수는 1x1=1x\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x} 이 되고, lim⁡x→0+1x=∞\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty 이다. 로피탈의 정리를 적용할 수 없는 이유는 분자와 분모가 모두 무한대로 가거나 모두 0으로 가는 것과 같은 부정형이 아니기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Be careful– this is not an indeterminate form!

As x→0+x\rightarrow 0+, the numerator log⁡x→−∞\log x\rightarrow-\infty. That is, the numerator is becoming an increasingly huge, negative number. As x→0+x\rightarrow 0+, the denominator x→0+x\rightarrow 0+, which only serves to make the total fraction even larger, and still negative. So, lim⁡x→0+log⁡xx=−∞\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\log x}{x} =-\infty.

Remark: if we had tried to use l'Hopital's Rule here, we would have come up with the wrong answer. If we differentiate the numerator and the denominator, the fraction becomes 1x1=1x\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}, and lim⁡x→0+1x=∞\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty. The reason we cannot apply l'Hopital's Rule is that we do not have an indeterminate form, like both numerator and denominator going to infinity, or both numerator and denominator going to zero.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 6번우리말 번역

lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x} 의 값을 구하세요.

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식을 더 자연스러운 형태로 바꾼다:

lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x=lim⁡x→∞(log⁡x)2ex⏟num→∞den→∞x 가 무한대로 갈 때 분자와 분모가 모두 무한대로 간다. 따라서 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 실제로는 두 번 적용하게 된다.=lim⁡x→∞2log⁡xxex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2/xxex+ex분자는 점점 작아지고 분모는 점점 커지므로:=0\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{(\log x)^2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ \text{$x$ 가 무한대로 갈 때 분자와 분모가 모두 무한대로 간다. 따라서 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 실제로는 두 번 적용하게 된다.} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{2\log x}{xe^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2/x}{xe^{x}+e^x} \\ \text{분자는 점점 작아지고 분모는 점점 커지므로:} \\ &={0} \end{aligned}

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