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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

로피탈 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x}.

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식을 더 자연스러운 형태로 바꾼다:

lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x=lim⁡x→∞(log⁡x)2ex⏟num→∞den→∞x 가 무한대로 갈 때 분자와 분모가 모두 무한대로 간다. 따라서 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 실제로는 두 번 적용하게 된다.=lim⁡x→∞2log⁡xxex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2/xxex+ex분자는 점점 작아지고 분모는 점점 커지므로:=0\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{(\log x)^2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ \text{$x$ 가 무한대로 갈 때 분자와 분모가 모두 무한대로 간다. 따라서 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 실제로는 두 번 적용하게 된다.} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{2\log x}{xe^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2/x}{xe^{x}+e^x} \\ \text{분자는 점점 작아지고 분모는 점점 커지므로:} \\ &={0} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We rearrange the expression to a more natural form:

lim⁡x→∞(log⁡x)2e−x=lim⁡x→∞(log⁡x)2ex⏟num→∞den→∞Both the numerator and denominator go to infinity as x goes to infinity. So, we can apply l’Hoˆpital’s Rule. In fact, we end up applying it twice.=lim⁡x→∞2log⁡xxex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2/xxex+exThe numerator gets smaller and smaller while the denominator gets larger and larger, so:=0\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{(\log x)^2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ \text{Both the numerator and denominator go to infinity as $x$ goes to infinity. So, we can apply l'H\^opital's Rule. In fact, we end up applying it twice.} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{2\log x}{xe^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2/x}{xe^{x}+e^x} \\ \text{The numerator gets smaller and smaller while the denominator gets larger and larger, so:} \\ &={0} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 7번우리말 번역

lim⁡x→∞x2e−x\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^2e^{-x} 의 값을 구하세요.

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lim⁡x→∞x2e−x=lim⁡x→∞x2ex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2xex⏟num→∞den→∞=lim⁡x→∞2ex⏟num→∞den→∞=0\lim_{x\rightarrow\infty}x^2e^{-x} =\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{x^2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \infty}} =\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{2x}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{2}{e^{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} ={0}

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