로피탈 정리 연습문제 — CLP-1 · 3.7절 · 8번

CLP-1 · 3.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-x\cos x}{x-\sin x}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-x\cos x}{x-\sin x}$ .

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$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{x-x\cos x}{x-\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1-\cos x+x\sin x}{1-\cos x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\sin x+\sin x+x\cos x}{\sin x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos x+\cos x-x\sin x}{\cos x} ={3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 9번우리말 번역

극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x}$ 의 값을 구하세요.

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분자와 분모에 $x=0$ 을 대입하면 둘 다 0이므로 로피탈 법칙을 쓸 수 있는 후보이다. 그러나 이 극한을 구하는 더 쉬운 방법은 분자와 분모에서 $x^2$ 을 묶어 내어 약분하는 것이다.

$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x} &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^4}\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+4}}{\cos x}\\ &=\frac{\sqrt{0^2+4}}{\cos(0)}=2 \end{aligned}$

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