로피탈 정리 연습문제 — CLP-1 · 3.7절 · 10번

CLP-1 · 3.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

극한 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\log x)^2}{x}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\log x)^2}{x}$ .

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$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{(\log x)^2}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} &=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2(\log x)\frac{1}{x}}{1} =2\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{\log x}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} = 2\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}={0} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 17번우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^4}$ 의 값을 구하세요.

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풀이 1. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{1}{x^4}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^5}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{2}{x^2}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^3}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{e^{1/x^2}} ={0}$ 이는 $x\rightarrow 0$ 일 때 지수 $\frac{1}{x^2}\rightarrow\infty$ 이므로 $e^{1/x^2}\rightarrow\infty$ 이고 $e^{-1/x^2}\rightarrow 0$ 이기 때문이다.
풀이 2. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{t=\frac{1}{x^2}\rightarrow \infty}\frac{e^{-t}}{t^{-2}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{t^2}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{2t}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{2}{e^{t}} ={0}$

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