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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

로피탈 정리

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CLP-1 · 3.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0e−1/x2x4\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^4} 의 값을 구하세요.

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Evaluate lim⁡x→0e−1/x2x4\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^4}.

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  • 풀이 1. lim⁡x→0e−1/x2x4=lim⁡x→01x4e1/x2⏟num→∞den→∞=lim⁡x→0−4x5−2x3e1/x2=lim⁡x→02x2e1/x2⏟num→∞den→∞=lim⁡x→0−4x3−2x3e1/x2=lim⁡x→02e1/x2=0\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{1}{x^4}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^5}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{2}{x^2}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^3}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{e^{1/x^2}} ={0} 이는 x→0x\rightarrow 0 일 때 지수 1x2→∞\frac{1}{x^2}\rightarrow\infty 이므로 e1/x2→∞e^{1/x^2}\rightarrow\infty 이고 e−1/x2→0e^{-1/x^2}\rightarrow 0 이기 때문이다.
  • 풀이 2. lim⁡x→0e−1/x2x4=lim⁡t=1x2→∞e−tt−2=lim⁡t→∞t2et⏟num→∞den→∞=lim⁡t→∞2tet⏟num→∞den→∞=lim⁡t→∞2et=0\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{t=\frac{1}{x^2}\rightarrow \infty}\frac{e^{-t}}{t^{-2}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{t^2}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{2t}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{2}{e^{t}} ={0}
원본 교재 풀이(영어)
  • Solution 1. lim⁡x→0e−1/x2x4=lim⁡x→01x4e1/x2⏟num→∞den→∞=lim⁡x→0−4x5−2x3e1/x2=lim⁡x→02x2e1/x2⏟num→∞den→∞=lim⁡x→0−4x3−2x3e1/x2=lim⁡x→02e1/x2=0\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{1}{x^4}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^5}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\frac{2}{x^2}}{e^{1/x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-4}{x^3}}{\frac{-2}{x^3}e^{1/x^2}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{e^{1/x^2}} ={0} since, as x→0x\rightarrow 0, the exponent 1x2→∞\frac{1}{x^2}\rightarrow\infty so that e1/x2→∞e^{1/x^2}\rightarrow\infty and e−1/x2→0e^{-1/x^2}\rightarrow 0.
  • Solution 2. lim⁡x→0e−1/x2x4=lim⁡t=1x2→∞e−tt−2=lim⁡t→∞t2et⏟num→∞den→∞=lim⁡t→∞2tet⏟num→∞den→∞=lim⁡t→∞2et=0\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^4} =\lim_{t=\frac{1}{x^2}\rightarrow \infty}\frac{e^{-t}}{t^{-2}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{t^2}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\underbrace{\frac{2t}{e^{t}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}} =\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{2}{e^{t}} ={0}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 16번우리말 번역

lim⁡x→1log⁡(x3)x2−1\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\log(x^3)}{x^2-1} 의 값을 구하세요.

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lim⁡x→1log⁡(x3)x2−1=lim⁡x→13log⁡(x)x2−1⏟num→0den→0=lim⁡x→13/x2x=32\lim_{x\rightarrow1}\frac{\log(x^3)}{x^2-1} =\lim_{x\rightarrow1}\underbrace{\frac{3\log(x)}{x^2-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} =\lim_{x\rightarrow1}\frac{3/x}{2x} =\frac{3}{2}

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