로피탈 정리 연습문제 — CLP-1 · 3.7절 · 12번

CLP-1 · 3.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sec x}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sec x}$ .

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$x=0$ 을 대입하면 분자는 0이고, 분모는

$\sec 0 = \dfrac{1}{\cos 0}=\dfrac{1}{1}=1$ 이다. 따라서 극한은 $\dfrac{0}{1}=0$ 이다.

주의할 점: 이 분수는 부정형이 아니므로 여기에서는 로피탈 법칙을 쓸 수 없다. 분자와 분모를 각각 미분하면, 극한이 존재하지 않는 식을 얻게 된다.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sec x \tan x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}=DNE$ .

원본 교재 풀이(영어)

If we plug in $x=0$ , the numerator is zero, and the denominator is

$\sec 0 = \dfrac{1}{\cos 0}=\dfrac{1}{1}=1$ . So the limit is $\dfrac{0}{1}=0$ .

Be careful: you cannot use l'Hopital's Rule here, because the fraction does not give an indeterminate form. If you try to differentiate the numerator and the denominator, you get an expression whose limit does not exist:

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sec x \tan x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}=DNE$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 11번우리말 번역

극한 $\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x}$ 의 값을 구하세요.

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$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow0}\underbrace{\frac{1-\cos x}{\sin^2 x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &= \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{2\sin x\cos x} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2\cos x} ={\frac{1}{2}} \end{aligned}$

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