로피탈 정리 연습문제 — CLP-1 · 3.7절 · 14번

CLP-1 · 3.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$ .

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$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$ 은 $\infty - \infty$ 꼴의 부정형이다. 상황을 더 잘 파악하기 위해 유리화해 보자.

$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}&= \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}\right)\left( \frac{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}\right)\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2+1)-(x^2+x)}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+1}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}} \\ \text{여기서 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 부정형이므로 로피탈의 정리를 쓸 수 있다. 그러나 여기에 적용하려 하면 식이 금방 매우 복잡해진다. 대신 이전에 이런 꼴의 극한을 어떻게 처리했는지 떠올려 보자. 분모의 최고차항인 $x$ 로 묶어 낸다.} \\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^2(2+\frac{1}{x^2})}+\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}}\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}\\ &=\lim_{x \to \infty} \underbrace{\frac{x-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \sqrt{2}+1}}\\ &=\infty \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$ has the indeterminate form $\infty - \infty$ . To get a better idea of what's going on, let's rationalize.

$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}&= \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}\right)\left( \frac{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}\right)\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2+1)-(x^2+x)}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+1}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x}} \\ \text{Here, we have the indeterminate form $\frac{\infty}{\infty}$, so l'H\^opital's Rule applies. However, if we try to use it here, we quickly get a huge mess. Instead, remember how we dealt with these kinds of limits in the past: factor out the highest power of the denominator, which is $x$.} \\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^2(2+\frac{1}{x^2})}+\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}}\\ &=\lim_{x \to \infty} \frac{x\left(x-1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}\\ &=\lim_{x \to \infty} \underbrace{\frac{x-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \sqrt{2}+1}}\\ &=\infty \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 22번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left[-\log(x^2)\right]^x$ 의 값을 구하세요.

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먼저 0 근처에서 이 함수가 존재함을 확인한다. $x^2$ 은 양수이므로 $\log(x^2)$ 이 존재한다. 0 근처에서 $\log x^2$ 은 음수이므로 $-\log(x^2)$ 은 양수이고, 따라서 $x$ 가 음수일 때에도 $\left[-\log(x^2)\right]^x$ 이 존재한다.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -\log(x^2)=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}x=0$ 이므로 $\infty^0$ 꼴의 부정형이다. 로피탈 정리를 써야 하는데, 그러려면 함수를 알맞은 꼴로 바꿔야 한다. 로그를 이용하여 이렇게 바꾼다.

$\begin{aligned} y:&=\left[-\log(x^2)\right]^x\\ \log y &= \log \left( \left[-\log(x^2)\right]^x\right)= \underbrace{x}_{\to 0}\cdot\underbrace{\log\left(\underbrace{-\log(x^2)}_{\to\infty} \right)}_{\to\infty}=\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \pm\infty}} =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\frac{2}{x}}{-\log(x^2)}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-2x}{\log(x^2)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to-\infty}}=0 \\ \text{이제 처음의 극한을 구할 수 있다.} \\ \lim_{x\to 0} y &= \lim_{x \to 0} e^{\log y}=e^0=1 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 로피탈 정리계산보통자동 분류