로피탈 정리 연습문제 — CLP-1 · 3.7절 · 22번

CLP-1 · 3.7절 · 22번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left[-\log(x^2)\right]^x$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left[-\log(x^2)\right]^x$ .

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먼저 0 근처에서 이 함수가 존재함을 확인한다. $x^2$ 은 양수이므로 $\log(x^2)$ 이 존재한다. 0 근처에서 $\log x^2$ 은 음수이므로 $-\log(x^2)$ 은 양수이고, 따라서 $x$ 가 음수일 때에도 $\left[-\log(x^2)\right]^x$ 이 존재한다.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -\log(x^2)=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}x=0$ 이므로 $\infty^0$ 꼴의 부정형이다. 로피탈 정리를 써야 하는데, 그러려면 함수를 알맞은 꼴로 바꿔야 한다. 로그를 이용하여 이렇게 바꾼다.

$\begin{aligned} y:&=\left[-\log(x^2)\right]^x\\ \log y &= \log \left( \left[-\log(x^2)\right]^x\right)= \underbrace{x}_{\to 0}\cdot\underbrace{\log\left(\underbrace{-\log(x^2)}_{\to\infty} \right)}_{\to\infty}=\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \pm\infty}} =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\frac{2}{x}}{-\log(x^2)}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-2x}{\log(x^2)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to-\infty}}=0 \\ \text{이제 처음의 극한을 구할 수 있다.} \\ \lim_{x\to 0} y &= \lim_{x \to 0} e^{\log y}=e^0=1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

First, note that the function exists near 0: $x^2$ is positive, so $\log(x^2)$ exists; near 0, $\log x^2$ is negative, so $-\log(x^2)$ is positive, so $\left[-\log(x^2)\right]^x$ exists even when $x$ is negative.

Since $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -\log(x^2)=\infty$ and $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}x=0$ , we have the indeterminate form $\infty^0$ . We need l'Hopital, but we need to manipulate our function into an appropriate form. We do this using logarithms.

$\begin{aligned} y:&=\left[-\log(x^2)\right]^x\\ \log y &= \log \left( \left[-\log(x^2)\right]^x\right)= \underbrace{x}_{\to 0}\cdot\underbrace{\log\left(\underbrace{-\log(x^2)}_{\to\infty} \right)}_{\to\infty}=\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{\log\left(-\log(x^2)\right)}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to \pm\infty}} =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\frac{2}{x}}{-\log(x^2)}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-2x}{\log(x^2)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to-\infty}}=0 \\ \text{Now, we're ready to figure out our original limit.} \\ \lim_{x\to 0} y &= \lim_{x \to 0} e^{\log y}=e^0=1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 23번우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}$ 이 존재하도록 하는 $c$ 의 값을 구하세요.

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분자와 분모는 모두 $x\rightarrow 0$ 일 때 $0$ 으로 수렴한다. 따라서 로피탈 정리에 의해 $\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{c+\sin x}{ 2xe^{x^2}}$ 새로운 분모는 여전히 $x\rightarrow 0$ 일 때 $0$ 으로 수렴한다. 극한이 존재하려면 새로운 분자도 마찬가지여야 한다. 따라서 $c \neq 0$ 이면 극한이 존재하지 않는다. $c=0$ 일 때 극한이 존재하는지 확인해야 한다. 로피탈 정리를 이용하면 $\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\sin x}{2xe^{x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{e^{x^2}(4x^2+2)}=\frac{1}{1(0+2)}=\frac{1}{2}.$ 따라서 $c=0$ 일 때 극한이 존재한다.

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