로피탈 정리

(a) $\ln(x)$ 와 $\sqrt{x}$ 는 모두 $x \to \infty$ 일 때 한없이 커지므로 $$\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\,$$ 을 생각한다. 로피탈의 정리와 약간의 식 정리에 의해 $$\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2x^{1/2}}} = \lim_{x \to \infty}\frac{2x^{1/2}}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{2}{x^{1/2}}\,.$$ 따라서 $$\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = 0\,,$$ 이고, 그러므로 $\sqrt{x}$ 가 $\ln(x)$ 를 지배한다. (b) $(a)$ 의 풀이와 비슷한 방법으로, 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $\sqrt[n]{x}$ 가 $\ln(x)$ 를 지배함을 보일 수 있다. 특히 로피탈의 정리와 약간의 식 정리에 의해 $$\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt[n]{x}} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{nx^{(n-1)/n}}} = \lim_{x \to \infty}\frac{nx^{(n-1)/n}}{x}\,.$$ $\frac{x^{(n-1)/n}}{x} = x^{(n-1)/n - 1} = x^{(n-1-n)/n} = x^{-1/n}$ 이므로 $$\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt[n]{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{1/n}} = 0$$ 이다. 따라서 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $\sqrt[n]{x}$ 가 $\ln(x)$ 를 지배함을 보였다. (c) $e^x$ 이 모든 다항식 함수를 지배하는 이유를 알아보기 위해 $p(x) = x^4$ 을 생각한다. 두 함수의 비의 극한을 생각하고 로피탈의 정리를 한 번 적용하면 $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3}{e^x}$$ 이다. 로피탈의 정리를 반복해서 적용하면 (처음에 어떤 다항식으로 시작하든) ($n$ 번 적용한 뒤) 분자는 결국 상수가 되고, 분모에는 여전히 $e^x$ 이 있으므로 전체 극한은 $0$ 이다. (d) 여기서는 $n \ge 1$ 일 때 $\ln(x)$ 와 $x^n$ 의 비의 극한을 생각하는 것이 자연스럽다. 두 함수가 모두 한없이 커지므로 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 이를 적용하고 약간의 식 정리를 하면 $$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{nx^{n-1}} = \frac{1}{nx^n} = 0$$ 이므로 $x^n$ 이 실제로 지배한다. (e) $f(x) = 3x^2 + 1$ 과 $g(x) = -0.5x^2 + 5x - 2$ 를 생각한다. 이 함수들은 차수가 같은 다항식이므로 $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3}{-0.5} = -6\,$$ 임을 알 수 있다.