y : = e x log x = ( e x ) log x lim x → 0 + y = lim x → 0 + ( e x ) log x 이는 1 − ∞ = 1 1 ∞ 꼴이고, 1 ∞ 은 부정형이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다. lim x → 0 + log y = lim x → 0 + log ( ( e x ) log x ) = lim x → 0 + log x log ( e x ) = lim x → 0 + ( log x ) ⋅ x 이는 부정형 0 ⋅ ∞ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다. = lim x → 0 + log x 1 x ⏟ n u m → − ∞ d e n → ∞ = lim x → 0 + 1 x − 1 x 2 = lim x → 0 + − x = 0 이제 처음 함수 y 가 어떻게 되는지 알 수 있다: lim x → 0 + y = lim x → 0 + e log y = e 0 = 1 \begin{aligned}
y:&= e^{x \log x} = (e^x)^{\log x} \\
\lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} (e^x)^{\log x}
\\ \text{이는 $1^{-\infty} = \frac{1}{1^\infty}$ 꼴이고, $1^{\infty}$ 은 부정형이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.} \\
\lim_{x \to 0^+} \log y &=\lim_{x \to 0 ^+} \log\left((e^x)^{\log x} \right)
=\lim_{x \to 0 ^+} \log x \log\left(e^x \right)=\lim_{x \to 0 ^+} (\log x)\cdot x
\\ \text{이는 부정형 $0 \cdot \infty$ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.} \\
&=\lim_{x \to 0 ^+} \underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num} \to -\infty}{\mathrm{den} \to \infty}}
=\lim_{x \to 0 ^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}
=\lim_{x \to 0 ^+}-x=0
\\ \text{이제 처음 함수 $y$ 가 어떻게 되는지 알 수 있다:} \\
\lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1
\end{aligned} y : x → 0 + lim y 이는 1 − ∞ = 1 ∞ 1 꼴이고 , 1 ∞ 은 부정형이다 . 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다 . 그래서 로그를 이용한다 . x → 0 + lim log y 이는 부정형 0 ⋅ ∞ 꼴이므로 , 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다 . 이제 처음 함수 y 가 어떻게 되는지 알 수 있다 : x → 0 + lim y = e x l o g x = ( e x ) l o g x = x → 0 + lim ( e x ) l o g x = x → 0 + lim log ( ( e x ) l o g x ) = x → 0 + lim log x log ( e x ) = x → 0 + lim ( log x ) ⋅ x = x → 0 + lim den → ∞ num → − ∞ x 1 log x = x → 0 + lim x 2 − 1 x 1 = x → 0 + lim − x = 0 = x → 0 + lim e l o g y = e 0 = 1
y : = e x log x = ( e log x ) x = x x lim x → 0 + y = lim x → 0 + x x 부정형 0 0 꼴이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다. lim x → 0 + log y = lim x → 0 + log ( x x ) = lim x → 0 + x log x 이제 부정형 0 ⋅ ∞ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다. lim x → 0 + y = lim x → 0 + log x 1 x ⏟ n u m → 0 d e n → − ∞ = lim x → 0 + 1 x − 1 x 2 = lim x → 0 + − x = 0 이제 처음 함수 y 가 어떻게 되는지 알 수 있다: lim x → 0 + y = lim x → 0 + e log y = e 0 = 1 \begin{aligned}
y:&=e^{x\log x}=\left(e^{\log x}\right)^x=x^x\\
\lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}x^x
\\ \text{부정형 $0^0$ 꼴이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.} \\
\lim_{x \to 0^+}\log y &=\lim_{x \to 0^+}\log(x^x)=\lim_{x \to 0^+}x\log x
\\ \text{이제 부정형 $0 \cdot \infty$ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.} \\
\lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}\underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den} \to -\infty}}
=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}
=\lim_{x \to 0^+}-x=0
\\ \text{이제 처음 함수 $y$ 가 어떻게 되는지 알 수 있다:} \\
\lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1
\end{aligned} y : x → 0 + lim y 부정형 0 0 꼴이다 . 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다 . 그래서 로그를 이용한다 . x → 0 + lim log y 이제 부정형 0 ⋅ ∞ 꼴이므로 , 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다 . x → 0 + lim y 이제 처음 함수 y 가 어떻게 되는지 알 수 있다 : x → 0 + lim y = e x l o g x = ( e l o g x ) x = x x = x → 0 + lim x x = x → 0 + lim log ( x x ) = x → 0 + lim x log x = x → 0 + lim den → − ∞ num → 0 x 1 log x = x → 0 + lim x 2 − 1 x 1 = x → 0 + lim − x = 0 = x → 0 + lim e l o g y = e 0 = 1