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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

로피탈 정리

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CLP-1 · 3.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

lim⁡x→0+exlog⁡x\displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{x \log x} 의 값을 구하세요.

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Evaluate lim⁡x→0+exlog⁡x\displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{x \log x}.

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  • 풀이 1

y:=exlog⁡x=(ex)log⁡xlim⁡x→0+y=lim⁡x→0+(ex)log⁡x이는 1−∞=11∞ 꼴이고, 1∞ 은 부정형이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.lim⁡x→0+log⁡y=lim⁡x→0+log⁡((ex)log⁡x)=lim⁡x→0+log⁡xlog⁡(ex)=lim⁡x→0+(log⁡x)⋅x이는 부정형 0⋅∞ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.=lim⁡x→0+log⁡x1x⏟num→−∞den→∞=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+−x=0이제 처음 함수 y 가 어떻게 되는지 알 수 있다:lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&= e^{x \log x} = (e^x)^{\log x} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} (e^x)^{\log x} \\ \text{이는 $1^{-\infty} = \frac{1}{1^\infty}$ 꼴이고, $1^{\infty}$ 은 부정형이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.} \\ \lim_{x \to 0^+} \log y &=\lim_{x \to 0 ^+} \log\left((e^x)^{\log x} \right) =\lim_{x \to 0 ^+} \log x \log\left(e^x \right)=\lim_{x \to 0 ^+} (\log x)\cdot x \\ \text{이는 부정형 $0 \cdot \infty$ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.} \\ &=\lim_{x \to 0 ^+} \underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num} \to -\infty}{\mathrm{den} \to \infty}} =\lim_{x \to 0 ^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0 ^+}-x=0 \\ \text{이제 처음 함수 $y$ 가 어떻게 되는지 알 수 있다:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}

  • 풀이 2

y:=exlog⁡x=(elog⁡x)x=xxlim⁡x→0+y=lim⁡x→0+xx부정형 00 꼴이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.lim⁡x→0+log⁡y=lim⁡x→0+log⁡(xx)=lim⁡x→0+xlog⁡x이제 부정형 0⋅∞ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+log⁡x1x⏟num→0den→−∞=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+−x=0이제 처음 함수 y 가 어떻게 되는지 알 수 있다:lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&=e^{x\log x}=\left(e^{\log x}\right)^x=x^x\\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}x^x \\ \text{부정형 $0^0$ 꼴이다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 다른 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 이용한다.} \\ \lim_{x \to 0^+}\log y &=\lim_{x \to 0^+}\log(x^x)=\lim_{x \to 0^+}x\log x \\ \text{이제 부정형 $0 \cdot \infty$ 꼴이므로, 로피탈의 정리를 쓰기 전에 마지막으로 한 번 더 고쳐야 한다.} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}\underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den} \to -\infty}} =\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0^+}-x=0 \\ \text{이제 처음 함수 $y$ 가 어떻게 되는지 알 수 있다:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)
  • Solution 1

y:=exlog⁡x=(ex)log⁡xlim⁡x→0+y=lim⁡x→0+(ex)log⁡xThis has the form 1−∞=11∞, and 1∞ is an indeterminate form. We want to use l’Hoˆpital, but we need to get a different indeterminate form. So, we’ll use logarithms.lim⁡x→0+log⁡y=lim⁡x→0+log⁡((ex)log⁡x)=lim⁡x→0+log⁡xlog⁡(ex)=lim⁡x→0+(log⁡x)⋅xThis has the indeterminate form 0⋅∞, so we need one last adjustment before we can use l’Hoˆpital’s Rule.=lim⁡x→0+log⁡x1x⏟num→−∞den→∞=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+−x=0Now, we can figure out what happens to our original function, y:lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&= e^{x \log x} = (e^x)^{\log x} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} (e^x)^{\log x} \\ \text{This has the form $1^{-\infty} = \frac{1}{1^\infty}$, and $1^{\infty}$ is an indeterminate form. We want to use l'H\^opital, but we need to get a different indeterminate form. So, we'll use logarithms.} \\ \lim_{x \to 0^+} \log y &=\lim_{x \to 0 ^+} \log\left((e^x)^{\log x} \right) =\lim_{x \to 0 ^+} \log x \log\left(e^x \right)=\lim_{x \to 0 ^+} (\log x)\cdot x \\ \text{This has the indeterminate form $0 \cdot \infty$, so we need one last adjustment before we can use l'H\^opital's Rule.} \\ &=\lim_{x \to 0 ^+} \underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num} \to -\infty}{\mathrm{den} \to \infty}} =\lim_{x \to 0 ^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0 ^+}-x=0 \\ \text{Now, we can figure out what happens to our original function, $y$:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}

  • Solution 2

y:=exlog⁡x=(elog⁡x)x=xxlim⁡x→0+y=lim⁡x→0+xxWe have the indeterminate form 00. We want to use l’Hoˆpital, but we need a different indeterminate form. So, we’ll use logarithms.lim⁡x→0+log⁡y=lim⁡x→0+log⁡(xx)=lim⁡x→0+xlog⁡xNow we have the indeterminate form 0⋅∞, so we need one last adjustment before we can use l’Hoˆpital’s Rule.lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+log⁡x1x⏟num→0den→−∞=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+−x=0Now, we can figure out what happens to our original function, y:lim⁡x→0+y=lim⁡x→0+elog⁡y=e0=1\begin{aligned} y:&=e^{x\log x}=\left(e^{\log x}\right)^x=x^x\\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}x^x \\ \text{We have the indeterminate form $0^0$. We want to use l'H\^opital, but we need a different indeterminate form. So, we'll use logarithms.} \\ \lim_{x \to 0^+}\log y &=\lim_{x \to 0^+}\log(x^x)=\lim_{x \to 0^+}x\log x \\ \text{Now we have the indeterminate form $0 \cdot \infty$, so we need one last adjustment before we can use l'H\^opital's Rule.} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+}\underbrace{\frac{\log x}{\frac{1}{x}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den} \to -\infty}} =\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} =\lim_{x \to 0^+}-x=0 \\ \text{Now, we can figure out what happens to our original function, $y$:} \\ \lim_{x \to 0^+} y &=\lim_{x \to 0^+} e^{\log y} = e^0=1 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 18번우리말 번역

lim⁡x→0xextan⁡(3x)\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{xe^x}{\tan (3x)}의 값을 구하세요.

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lim⁡x→0xextan⁡(3x)⏟num→0den→0=lim⁡x→0ex+xex3sec⁡2(3x)=13\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{xe^x}{\tan (3x)}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x+xe^x}{3\sec^2 (3x)} =\frac{1}{3}

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