직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.3절 · 1번

CLP-3 · 1.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\mathbb R^2$ 에서 직선이 방향 $\mathbf d$ 를 가지고 점 $\mathbf c$ 를 지납니다.

다음 중 이 직선의 매개변수 방정식은 $\left< x,y\right> =\mathbf c + t\mathbf d$ 와 $\left< x,y\right> =\mathbf c - t\mathbf d$ 중 어느 것인가요?

영어 원문 보기

A line in $\mathbb R^2$ has direction $\mathbf d$ and passes through point $\mathbf c$ .

Which of the following gives its parametric equation: $\left< x,y\right> =\mathbf c + t\mathbf d$ , or $\left< x,y\right> =\mathbf c - t\mathbf d$ ?

정답·풀이 보기

$t$ 는 어떤 실수라도 될 수 있으므로 두 방정식은 같은 직선을 나타낸다. 둘 다 옳다. 예를 들어, 첫 번째 매개변수 방정식에서 $t=7$ 일 때의 점, 즉 $\mathbf c + 7\mathbf d$ 는 두 번째 매개변수 방정식에서 $t=-7$ 일 때의 점, 즉 $\mathbf c -(-7)\mathbf d$ 와 정확히 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $t$ can be any real number, these equation describe the same line. They're both valid. For example, the point given by the first parametric equation with $t=7$ , namely $\mathbf c + 7\mathbf d$ , is exactly the same as the point given by the second parametric equation with $t=-7$ , namely $\mathbf c -(-7)\mathbf d$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 18번우리말 번역

$\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합을 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

점 $\mathbf{x}$ 에서 $\mathbf{a}$ 까지의 거리는 $\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{a})}$ 이고, $\mathbf{x}$ 에서 $\mathbf{b}$ 까지의 거리는 $\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{b})}$ 이다. 따라서 $\mathbf{x}$ 가 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 로부터 같은 거리에 있을 필요충분조건은 다음과 같다.

$\begin{aligned} & & (\mathbf{x}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{a})&=(\mathbf{x}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{b}) \\ &\iff\qquad & |\mathbf{x}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}+|\mathbf{a}|^2&=|\mathbf{x}|^2-2\mathbf{b}\cdot\mathbf{x}+|\mathbf{b}|^2 \\ &\iff & 2(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{x}&=|\mathbf{b}|^2-|\mathbf{a}|^2 \end{aligned}$

이것은 $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ 를 지나고 법선 벡터가 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 인 평면이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류