직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.4절 · 18번

CLP-3 · 1.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합을 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe the set of points equidistant from $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ .

정답·풀이 보기

점 $\mathbf{x}$ 에서 $\mathbf{a}$ 까지의 거리는 $\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{a})}$ 이고, $\mathbf{x}$ 에서 $\mathbf{b}$ 까지의 거리는 $\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{b})}$ 이다. 따라서 $\mathbf{x}$ 가 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 로부터 같은 거리에 있을 필요충분조건은 다음과 같다.

$\begin{aligned} & & (\mathbf{x}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{a})&=(\mathbf{x}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{b}) \\ &\iff\qquad & |\mathbf{x}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}+|\mathbf{a}|^2&=|\mathbf{x}|^2-2\mathbf{b}\cdot\mathbf{x}+|\mathbf{b}|^2 \\ &\iff & 2(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{x}&=|\mathbf{b}|^2-|\mathbf{a}|^2 \end{aligned}$

이것은 $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ 를 지나고 법선 벡터가 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 인 평면이다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance from the point $\mathbf{x}$ to $\mathbf{a}$ is $\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{a})}$ and the distance from $\mathbf{x}$ to $\mathbf{b}$ is $\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{b})}$ . Hence $\mathbf{x}$ is equidistant from $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ if and only if

This is the plane through $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ with normal vector $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.3절 · 3번우리말 번역

두 점은 하나의 직선을 결정합니다. 두 직선 위에 모두 놓이는 서로 다른 두 점을 구하여, 방정식

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ 과 $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이 같은 직선을 나타냄을 확인하세요.

다 풀었으면 정답 확인

여러 답 중 하나는 다음과 같다.

첫 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(1,9)$ 가 첫 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(1,9)$ 가 두 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 두 번째 방정식에 $x=1$ , $y=9$ 를 대입하면

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이다. 이 방정식은 $t=-8$ 일 때 성립한다. 따라서 $(1,9)$ 는 두 직선 위에 모두 있다.

두 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(9,13)$ 이 두 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(9,13)$ 이 첫 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 첫 번째 방정식에 $x=9$ , $y=13$ 을 대입하면

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

이다. 이 방정식은 $t=1$ 일 때 성립한다. 따라서 $(9,13)$ 은 두 직선 위에 모두 있다.

두 직선 모두 $(1,9)$ 와 $(9,13)$ 을 지나므로 두 직선은 일치한다.

이 문제로 이어서 풀기

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