직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.3절 · 3번

CLP-3 · 1.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

두 점은 하나의 직선을 결정합니다. 두 직선 위에 모두 놓이는 서로 다른 두 점을 구하여, 방정식

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ 과 $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이 같은 직선을 나타냄을 확인하세요.

영어 원문 보기

Two points determine a line. Verify that the equations

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ and $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

describe the same line by finding two different points that lie on both lines.

정답·풀이 보기

여러 답 중 하나는 다음과 같다.

첫 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(1,9)$ 가 첫 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(1,9)$ 가 두 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 두 번째 방정식에 $x=1$ , $y=9$ 를 대입하면

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이다. 이 방정식은 $t=-8$ 일 때 성립한다. 따라서 $(1,9)$ 는 두 직선 위에 모두 있다.

두 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(9,13)$ 이 두 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(9,13)$ 이 첫 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 첫 번째 방정식에 $x=9$ , $y=13$ 을 대입하면

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

이다. 이 방정식은 $t=1$ 일 때 성립한다. 따라서 $(9,13)$ 은 두 직선 위에 모두 있다.

두 직선 모두 $(1,9)$ 와 $(9,13)$ 을 지나므로 두 직선은 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

Here is one answer of many.

Setting $t=0$ in the first equation shows that $(1,9)$ is on the first line. To see that $(1,9)$ is also on the second line, we substitute $x=1$ , $y=9$ into the second equation to give

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{or}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

This equation is satisfied when $t=-8$ . So $(1,9)$ is on both lines.

Setting $t=0$ in the second equation shows that $(9,13)$ is on the second line. To see that $(9,13)$ is also on the first line, we substitute $x=9$ , $y=13$ into the first equation to give

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{or}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

This equation is satisfied when $t=1$ . So $(9,13)$ is on both lines.

Since both lines pass through $(1,9)$ and $(9,13)$ , the lines are identical.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 19번우리말 번역

점 $P(5,-10,2)$ 와 세 꼭짓점이 $A(0,1,1)$ , $B(1,0,1)$ , $C(1,3,0)$ 인 삼각형을 생각하세요.

(a) 삼각형 $ABC$ 의 넓이를 구하세요. (b) 점 $P$ 에서 이 삼각형을 포함하는 평면까지의 거리를 구하세요.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 삼각형의 한 변은 $\overrightarrow{AB}=\left< 1,0,1\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,-1,0\right>$ 이다. 삼각형의 다른 한 변은 $\overrightarrow{AC}=\left< 1,3,0\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,2,-1\right>$ 이다. $\overrightarrow{AB}$ 와 $\overrightarrow{AC}$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 하고 $\overrightarrow{AB}$ 를 삼각형의 밑변으로 잡으면, 삼각형의 밑변의 길이는 $b=|\overrightarrow{AB}|$ 이고 높이는 $h=|\overrightarrow{AC}|\sin\theta$ 이므로

$\text{area}=\tfrac{1}{2} bh =\tfrac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\sin\theta =\tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| =\tfrac{1}{2}|\left< 1,-1,0\right> \times \left< 1,2,-1\right>|$

그런데

$\left< 1,-1,0\right>\times\left< 1,2,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+3\hat{\mathbf{k}}$

이므로

$\text{area}=\tfrac{1}{2}|\left< 1,1,3\right>|=\tfrac{1}{2}\sqrt{11}\approx 1.658$

이다.

(b) 삼각형을 포함하는 평면에 수직인 단위벡터는

$\hat{\mathbf{n}}=\frac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|} =\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}$

이다.

$P$ 에서 삼각형을 포함하는 평면까지의 거리는 $\overrightarrow{AP}=\left< 5,-10,2\right>-\left< 0,1,1\right> =\left< 5,-11,1\right>$ 을 $\hat{\mathbf{n}}$ 위로 정사영한 벡터의 길이와 같다. $\overrightarrow{AP}$ 와 $\hat{\mathbf{n}}$ 이 이루는 각을 $\theta$ 라 하면 이 길이는 다음과 같다.

$\text{distance}= |\overrightarrow{AP}|\,|\cos\theta| =\big|\overrightarrow{AP}\cdot\hat{\mathbf{n}}\big| =\left|\left< 5,-11,1\right>\cdot\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}\right| =\frac{3}{\sqrt{11}}\approx 0.9045$

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식증명·논술기본자동 분류