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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

점 P(5,−10,2)P(5,-10,2) 와 세 꼭짓점이 A(0,1,1)A(0,1,1), B(1,0,1)B(1,0,1), C(1,3,0)C(1,3,0) 인 삼각형을 생각하세요.

(a) 삼각형 ABCABC 의 넓이를 구하세요. (b) 점 PP 에서 이 삼각형을 포함하는 평면까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider a point P(5,−10,2)P(5,-10,2) and the triangle with vertices A(0,1,1)A(0,1,1), B(1,0,1)B(1,0,1) and C(1,3,0)C(1,3,0).

(a) Compute the area of the triangle ABCABC. (b) Find the distance from the point PP to the plane containing the triangle.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) 삼각형의 한 변은 AB→=<1,0,1>−<0,1,1>=<1,−1,0>\overrightarrow{AB}=\left< 1,0,1\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,-1,0\right> 이다. 삼각형의 다른 한 변은 AC→=<1,3,0>−<0,1,1>=<1,2,−1>\overrightarrow{AC}=\left< 1,3,0\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,2,-1\right> 이다. AB→\overrightarrow{AB} 와 AC→\overrightarrow{AC} 가 이루는 각을 θ\theta 라 하고 AB→\overrightarrow{AB} 를 삼각형의 밑변으로 잡으면, 삼각형의 밑변의 길이는 b=∣AB→∣b=|\overrightarrow{AB}| 이고 높이는 h=∣AC→∣sin⁡θh=|\overrightarrow{AC}|\sin\theta 이므로

area=12bh=12∣AB→∣ ∣AC→∣sin⁡θ=12∣AB→×AC→∣=12∣<1,−1,0>×<1,2,−1>∣\text{area}=\tfrac{1}{2} bh =\tfrac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\sin\theta =\tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| =\tfrac{1}{2}|\left< 1,-1,0\right> \times \left< 1,2,-1\right>|

그런데

<1,−1,0>×<1,2,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^1−1012−1]=ı^+ȷ^+3k^\left< 1,-1,0\right>\times\left< 1,2,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+3\hat{\mathbf{k}}

이므로

area=12∣<1,1,3>∣=1211≈1.658\text{area}=\tfrac{1}{2}|\left< 1,1,3\right>|=\tfrac{1}{2}\sqrt{11}\approx 1.658

이다.

(b) 삼각형을 포함하는 평면에 수직인 단위벡터는

n^=AB→×AC→∣AB→×AC→∣=<1,1,3>11\hat{\mathbf{n}}=\frac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|} =\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}

이다.

PP 에서 삼각형을 포함하는 평면까지의 거리는 AP→=<5,−10,2>−<0,1,1>=<5,−11,1>\overrightarrow{AP}=\left< 5,-10,2\right>-\left< 0,1,1\right> =\left< 5,-11,1\right> 을 n^\hat{\mathbf{n}} 위로 정사영한 벡터의 길이와 같다. AP→\overrightarrow{AP} 와 n^\hat{\mathbf{n}} 이 이루는 각을 θ\theta 라 하면 이 길이는 다음과 같다.

distance=∣AP→∣ ∣cos⁡θ∣=∣AP→⋅n^∣=∣<5,−11,1>⋅<1,1,3>11∣=311≈0.9045\text{distance}= |\overrightarrow{AP}|\,|\cos\theta| =\big|\overrightarrow{AP}\cdot\hat{\mathbf{n}}\big| =\left|\left< 5,-11,1\right>\cdot\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}\right| =\frac{3}{\sqrt{11}}\approx 0.9045

원본 교재 풀이(영어)

(a) One side of the triangle is AB→=<1,0,1>−<0,1,1>=<1,−1,0>\overrightarrow{AB}=\left< 1,0,1\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,-1,0\right>. A second side of the triangle is AC→=<1,3,0>−<0,1,1>=<1,2,−1>\overrightarrow{AC}=\left< 1,3,0\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,2,-1\right>. If the angle between AB→\overrightarrow{AB} and AC→\overrightarrow{AC} is θ\theta and if we take AB→\overrightarrow{AB} as the base of the triangle, then the triangle has base length b=∣AB→∣b=|\overrightarrow{AB}| and height h=∣AC→∣sin⁡θh=|\overrightarrow{AC}|\sin\theta and hence

area=12bh=12∣AB→∣ ∣AC→∣sin⁡θ=12∣AB→×AC→∣=12∣<1,−1,0>×<1,2,−1>∣\text{area}=\tfrac{1}{2} bh =\tfrac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\sin\theta =\tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| =\tfrac{1}{2}|\left< 1,-1,0\right> \times \left< 1,2,-1\right>|

As

<1,−1,0>×<1,2,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^1−1012−1]=ı^+ȷ^+3k^\left< 1,-1,0\right>\times\left< 1,2,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+3\hat{\mathbf{k}}

we have

area=12∣<1,1,3>∣=1211≈1.658\text{area}=\tfrac{1}{2}|\left< 1,1,3\right>|=\tfrac{1}{2}\sqrt{11}\approx 1.658

(b) A unit vector perpendicular to the plane containing the triangle is

n^=AB→×AC→∣AB→×AC→∣=<1,1,3>11\hat{\mathbf{n}}=\frac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|} =\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}

The distance from PP to the plane containing the triangle is the length of the projection of AP→=<5,−10,2>−<0,1,1>=<5,−11,1>\overrightarrow{AP}=\left< 5,-10,2\right>-\left< 0,1,1\right> =\left< 5,-11,1\right> on n^\hat{\mathbf{n}}. If θ\theta the angle between AP→\overrightarrow{AP} and n^\hat{\mathbf{n}}, then this is

distance=∣AP→∣ ∣cos⁡θ∣=∣AP→⋅n^∣=∣<5,−11,1>⋅<1,1,3>11∣=311≈0.9045\text{distance}= |\overrightarrow{AP}|\,|\cos\theta| =\big|\overrightarrow{AP}\cdot\hat{\mathbf{n}}\big| =\left|\left< 5,-11,1\right>\cdot\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}\right| =\frac{3}{\sqrt{11}}\approx 0.9045

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.3절 · 4번우리말 번역

R2\mathbb R^2 에서 한 직선의 매개변수 방정식이 다음과 같습니다. x−3=9ty−5=7t\begin{array}{lcl} x-3&=&9t\\ y-5&=&7t \end{array} 이 직선의 매개변수 방정식을 쓰는 방법은 여러 가지가 있습니다. 이 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 때, x−x0=dxty−y0=dyt\begin{array}{lcl} x-x_0&=&d_xt\\ y-y_0&=&d_yt \end{array} <x0,y0>\left< x_0,y_0\right> 와 <dx,dy>\left< d_x,d_y\right> 가 가질 수 있는 값을 모두 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

<dx,dy>\left< d_x,d_y\right> 는 직선의 방향이므로 <9,7>\left< 9,7\right> 의 0이 아닌 임의의 스칼라배가 될 수 있다.

<x0,y0>\left< x_0,y_0\right> 는 직선 위의 임의의 점이 될 수 있다. 이 점들을 나타내는 것은 직선 자체를 나타내는 것과 같다. 어떤 실수 tt 에 대해

{x0−3=9ty0−5=7t\begin{aligned} \begin{cases} x_0-3&=9t\\ y_0-5&=7t \end{cases} \end{aligned}

을 만족하는 순서쌍 <x0,y0>\left< x_0,y_0\right> 를 모두 찾으면 된다. 즉,

t=x0−39=y0−577(x0−3)=9(y0−5)7x0+24=9y0\begin{aligned} t=\frac{x_0-3}{9}&=\frac{y_0-5}{7}\\ 7(x_0-3)&=9(y_0-5)\\ 7x_0+24&=9y_0 \end{aligned}

이다. 이 단계들 중 어느 것으로든 <x0,y0>\left< x_0,y_0\right> 의 가능한 값을 나타낼 수 있다. 예를 들어, 7x0+24=9y07x_0+24=9y_0 을 만족하는 임의의 순서쌍이라고 할 수 있다.

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