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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

R2\mathbb R^2 에서 한 직선의 매개변수 방정식이 다음과 같습니다. x−3=9ty−5=7t\begin{array}{lcl} x-3&=&9t\\ y-5&=&7t \end{array} 이 직선의 매개변수 방정식을 쓰는 방법은 여러 가지가 있습니다. 이 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 때, x−x0=dxty−y0=dyt\begin{array}{lcl} x-x_0&=&d_xt\\ y-y_0&=&d_yt \end{array} <x0,y0>\left< x_0,y_0\right> 와 <dx,dy>\left< d_x,d_y\right> 가 가질 수 있는 값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

A line in R2\mathbb R^2 has parametric equations x−3=9ty−5=7t\begin{array}{lcl} x-3&=&9t\\ y-5&=&7t \end{array} There are many different ways to write the parametric equations of this line. If we rewrite the equations as x−x0=dxty−y0=dyt\begin{array}{lcl} x-x_0&=&d_xt\\ y-y_0&=&d_yt \end{array} what are all possible values of <x0,y0>\left< x_0,y_0\right> and <dx,dy>\left< d_x,d_y\right>?

정답·풀이 보기

<dx,dy>\left< d_x,d_y\right> 는 직선의 방향이므로 <9,7>\left< 9,7\right> 의 0이 아닌 임의의 스칼라배가 될 수 있다.

<x0,y0>\left< x_0,y_0\right> 는 직선 위의 임의의 점이 될 수 있다. 이 점들을 나타내는 것은 직선 자체를 나타내는 것과 같다. 어떤 실수 tt 에 대해

{x0−3=9ty0−5=7t\begin{aligned} \begin{cases} x_0-3&=9t\\ y_0-5&=7t \end{cases} \end{aligned}

을 만족하는 순서쌍 <x0,y0>\left< x_0,y_0\right> 를 모두 찾으면 된다. 즉,

t=x0−39=y0−577(x0−3)=9(y0−5)7x0+24=9y0\begin{aligned} t=\frac{x_0-3}{9}&=\frac{y_0-5}{7}\\ 7(x_0-3)&=9(y_0-5)\\ 7x_0+24&=9y_0 \end{aligned}

이다. 이 단계들 중 어느 것으로든 <x0,y0>\left< x_0,y_0\right> 의 가능한 값을 나타낼 수 있다. 예를 들어, 7x0+24=9y07x_0+24=9y_0 을 만족하는 임의의 순서쌍이라고 할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

<dx,dy>\left< d_x,d_y\right> is the direction of the line, so it can be any non-zero scalar multiple of <9,7>\left< 9,7\right>.

<x0,y0>\left< x_0,y_0\right> can be any point on the line. Describing these is the same as describing the line itself. We're trying to find all doubles <x0,y0>\left< x_0,y_0\right> that obey

{x0−3=9ty0−5=7t\begin{aligned} \begin{cases} x_0-3&=9t\\ y_0-5&=7t \end{cases} \end{aligned}

for some real number tt. That is,

t=x0−39=y0−577(x0−3)=9(y0−5)7x0+24=9y0\begin{aligned} t=\frac{x_0-3}{9}&=\frac{y_0-5}{7}\\ 7(x_0-3)&=9(y_0-5)\\ 7x_0+24&=9y_0 \end{aligned}

Any of these steps could specify the possible values of <x0,y0>\left< x_0,y_0\right>. Say, they can be any pair satisfying 7x0+24=9y07x_0+24=9y_0.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.3절 · 5번우리말 번역

주어진 점을 지나고 주어진 방향을 갖는 직선의 벡터 매개변수 방정식, 스칼라 매개변수 방정식, 대칭 방정식을 구하세요.

(a) 점 (1,2)(1,2), 방향 <3,2>\left< 3,2\right> (b) 점 (5,4)(5,4), 방향 <2,−1>\left< 2,-1\right> (c) 점 (−1,3)(-1,3), 방향 <−1,2>\left< -1,2\right>

다 풀었으면 정답 확인

(a) 벡터 매개변수 방정식은 <x,y>=<1,2>+t<3,2>\left< x,y\right>=\left< 1,2\right>+t\left< 3,2\right> 이다. 스칼라 매개변수 방정식은 x=1+3t, y=2+2tx=1+3t,\ y=2+2t 이다. 대칭 방정식은 x−13=y−22\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2} 이다.

(b) 벡터 매개변수 방정식은 <x,y>=<5,4>+t<2,−1>\left< x,y\right>=\left< 5,4\right>+t\left< 2,-1\right> 이다. 스칼라 매개변수 방정식은 x=5+2t, y=4−tx=5+2t,\ y=4-t 이다. 대칭 방정식은 x−52=y−4−1\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{-1} 이다.

(c) 벡터 매개변수 방정식은 <x,y>=<−1,3>+t<−1,2>\left< x,y\right>=\left< -1,3\right>+t\left< -1,2\right> 이다. 스칼라 매개변수 방정식은 x=−1−t, y=3+2tx=-1-t,\ y=3+2t 이다. 대칭 방정식은 x+1−1=y−32\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2} 이다.

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# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류

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