직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.3절 · 8번

CLP-3 · 1.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 를 삼각형의 꼭짓점이라 하자. 정의에 따르면 삼각형의 중선은 삼각형의 한 꼭짓점과 그 마주 보는 변의 중점을 지나는 직선이다.

(a) 세 중선의 매개변수 방정식을 구하세요. (b) 세 중선은 한 점에서 만나나요? 만난다면 그 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

Let $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ be the vertices of a triangle. By definition, a median of a triangle is a straight line that passes through a vertex of the triangle and through the midpoint of the opposite side.

(a) Find the parametric equations of the three medians. (b) Do the three medians meet at a common point? If so, which point?

정답·풀이 보기

(a) $\mathbf{a}$ 의 마주 보는 변의 중점은 $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 이다. $\mathbf{a}$ 에서 그 중점까지 잇는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 이다. $\mathbf{a}$ 와 $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 를 지나는 직선의 벡터 매개변수 방정식은

$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big)$

이다. 나머지 두 중선도 마찬가지로 ( $t$ 대신 $s$ 와 $u$ 를 매개변수로 사용하여) 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{x}(s)&=\mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big)\\ \mathbf{x}(u)&=\mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big) \end{aligned}$

(b) 세 중선이 한 점에서 만나려면 다음을 만족하는 $s,t$ 와 $u$ 의 값이 있어야 한다.

$\begin{aligned} \mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big) &\ =\ \mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big) &&\ =\ \mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big)\\ (1-t)\mathbf{a}+\frac{t}{2}\mathbf{b}+\frac{t}{2}\mathbf{c} &\ =\ \frac{s}{2}\mathbf{a}+(1-s)\mathbf{b}+\frac{s}{2}\mathbf{c} &&\ =\ \frac{u}{2}\mathbf{a}+\frac{u}{2}\mathbf{b}+(1-u)\mathbf{c} \end{aligned}$

삼각형이 선분으로 퇴화하지 않았다고 가정하면, 이는 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 의 계수가 각각 같을 때, 그리고 그때에 한해 성립한다.

$\begin{aligned} 1-t&=\frac{s}{2}&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=1-s&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=\frac{s}{2}&&=1-u \end{aligned}$

즉

$s=t=u,\ 1-t=\frac{t}{2} \implies s=t=u=\frac{2}{3}$

이다. 세 중선은 $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 에서 만난다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The midpoint of the side opposite $\mathbf{a}$ is $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ . The vector joining $\mathbf{a}$ to that midpoint is $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}$ . The vector parametric equation of the line through $\mathbf{a}$ and $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ is

$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big)$

Similarly, for the other two medians (but using $s$ and $u$ as parameters, rather than $t$ )

(b) The three medians meet at a common point if there are values of $s,t$ and $u$ such that

Assuming that the triangle has not degenerated to a line segment, this is the case if and only if the coefficients of $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ match

$\begin{aligned} 1-t&=\frac{s}{2}&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=1-s&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=\frac{s}{2}&&=1-u \end{aligned}$

$s=t=u,\ 1-t=\frac{t}{2} \implies s=t=u=\frac{2}{3}$

The medians meet at $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 16번우리말 번역

점 $\mathbf{p}$ 에서 평면 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{x}= c$ 까지의 거리를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

벡터 $\mathbf{n}$ 은 평면 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}= c$ 에 수직이다. 따라서 직선

$\mathbf{x}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{n}$

은 $\mathbf{p}$ 를 지나고 평면에 수직이다.

이 직선은 다음을 만족하는 $t$ 의 값에서 평면과 만난다.

$\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}(t)= c \text{또는} \mathbf{n}\cdot[\mathbf{p}+t\mathbf{n}]= c$

즉

$t=[c-\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}]/|\mathbf{n}|^2$

벡터

$\mathbf{x}(t)-\mathbf{p}=t\,\mathbf{n}=\mathbf{n}\,[c-\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}]/|\mathbf{n}|^2$

은 머리가 평면 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}= c$ 위에 있고, 꼬리가 $\mathbf{p}$ 에 있으며, 평면에 수직이다. 따라서 거리는 이 벡터의 길이이며, 그 값은

$|c-\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}|/|\mathbf{n}|$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류