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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

점 p\mathbf{p} 에서 평면 n⋅x=c\mathbf{n}\cdot \mathbf{x}= c 까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the distance from the point p\mathbf{p} to the plane n⋅x=c\mathbf{n}\cdot \mathbf{x}= c.

정답·풀이 보기

벡터 n\mathbf{n} 은 평면 n⋅x=c\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}= c 에 수직이다. 따라서 직선

x(t)=p+tn\mathbf{x}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{n}

은 p\mathbf{p} 를 지나고 평면에 수직이다.

그림

이 직선은 다음을 만족하는 tt 의 값에서 평면과 만난다.

n⋅x(t)=c또는n⋅[p+tn]=c\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}(t)= c \text{또는} \mathbf{n}\cdot[\mathbf{p}+t\mathbf{n}]= c

즉

t=[c−n⋅p]/∣n∣2t=[c-\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}]/|\mathbf{n}|^2

벡터

x(t)−p=t n=n [c−n⋅p]/∣n∣2\mathbf{x}(t)-\mathbf{p}=t\,\mathbf{n}=\mathbf{n}\,[c-\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}]/|\mathbf{n}|^2

은 머리가 평면 n⋅x=c\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}= c 위에 있고, 꼬리가 p\mathbf{p} 에 있으며, 평면에 수직이다. 따라서 거리는 이 벡터의 길이이며, 그 값은

∣c−n⋅p∣/∣n∣|c-\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}|/|\mathbf{n}|

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The vector n\mathbf{n} is perpendicular to the plane n⋅x=c\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}= c. So the line

x(t)=p+tn\mathbf{x}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{n}

passes through p\mathbf{p} and is perpendicular to the plane.

figure

It crosses the plane at the value of tt which obeys

n⋅x(t)=corn⋅[p+tn]=c\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}(t)= c \text{or} \mathbf{n}\cdot[\mathbf{p}+t\mathbf{n}]= c

namely

t=[c−n⋅p]/∣n∣2t=[c-\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}]/|\mathbf{n}|^2

The vector

x(t)−p=t n=n [c−n⋅p]/∣n∣2\mathbf{x}(t)-\mathbf{p}=t\,\mathbf{n}=\mathbf{n}\,[c-\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}]/|\mathbf{n}|^2

has head on the plane n⋅x=c\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}= c, tail at p\mathbf{p}, and is perpendicular to the plane. So the distance is the length of that vector, which is

∣c−n⋅p∣/∣n∣|c-\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}|/|\mathbf{n}|

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 17번우리말 번역

(1,2,3)(1,2,3)과 (5,2,7)(5,2,7)로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합을 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

점 (x,y,z)(x,y,z)에서 (1,2,3)(1,2,3)까지의 거리는 (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}이고, (x,y,z)(x,y,z)에서 (5,2,7)(5,2,7)까지의 거리는 (x−5)2+(y−2)2+(z−7)2\sqrt{(x-5)^2+(y-2)^2+(z-7)^2}이다. 따라서 (x,y,z)(x,y,z)가 (1,2,3)(1,2,3)과 (5,2,7)(5,2,7)로부터 같은 거리에 있을 필요충분조건은 다음과 같다.

(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=(x−5)2+(y−2)2+(z−7)2  ⟺  x2−2x+1+z2−6z+9=x2−10x+25+z2−14z+49  ⟺  8x+8z=64  ⟺  x+z=8\begin{aligned} & & (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2&=(x-5)^2+(y-2)^2+(z-7)^2\\ &\iff & x^2-2x+1+z^2-6z+9&=x^2-10x+25+z^2-14z+49\\ &\iff & 8x+8z&=64\\ &\iff & x+z&=8 \end{aligned}

이것은 (3,2,5)=12(1,2,3)+12(5,2,7)(3,2,5)=\tfrac{1}{2}(1,2,3)+\tfrac{1}{2}(5,2,7)을 지나고 법선 벡터가 <1,0,1>=14(<5,2,7>−<1,2,3>)\left< 1,0,1\right>=\frac{1}{4}\big(\left< 5,2,7\right>-\left< 1,2,3\right> \big)인 평면이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 직선과 평면의 방정식계산도전자동 분류

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