직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.4절 · 1번

CLP-3 · 1.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

벡터 $\hat{\mathbf{k}}$ 는 평면 $z=0$ 의 법선벡터(즉, 수직인 벡터)이다. $z=0$ 에 수직인 또 다른 영벡터가 아닌 벡터를 구하세요.

영어 원문 보기

The vector $\hat{\mathbf{k}}$ is a normal vector (i.e. is perpendicular) to the plane $z=0$ . Find another nonzero vector that is normal to $z=0$ .

정답·풀이 보기

구하는 벡터는 $z=0$ 에 수직이므로 $\hat{\mathbf{k}}$ 와 평행하다. $\hat{\mathbf{k}}$ 와 평행하려면 그 벡터는 어떤 실수 $c$ 에 대해 $c\,\hat{\mathbf{k}}$ 꼴이어야 한다. 이 벡터가 영벡터가 아니려면 $c\ne 0$ 이어야 하고, $\hat{\mathbf{k}}$ 와 다르려면 $c\ne 1$ 이어야 한다. 따라서 가능한 세 가지 예는 $-\hat{\mathbf{k}}$ , $2\,\hat{\mathbf{k}}$ , $7.12345\,\hat{\mathbf{k}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are looking for a vector that is perpendicular to $z=0$ and hence is parallel to $\hat{\mathbf{k}}$ . To be parallel of $\hat{\mathbf{k}}$ , the vector has to be of the form $c\,\hat{\mathbf{k}}$ for some real number $c$ . For the vector to be nonzero, we need $c\ne 0$ and for the vector to be different from $\hat{\mathbf{k}}$ , we need $c\ne 1$ . So three possible choices are $-\hat{\mathbf{k}}$ , $2\,\hat{\mathbf{k}}$ , $7.12345\,\hat{\mathbf{k}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 9번우리말 번역

$\mathbb{R}^3$ 에서 평면 $\Pi$ 가 세 점 $A = (1, 1, 3)$ , $B = (2, 0, 2)$ , $C = (2, 1, 0)$ 을 지난다.

(a) 평면 $\Pi$ 의 방정식을 구하세요. (b) 점 $D = (6, 1, 2)$ 와 $E$ 를 지나는 직선 $L$ 이 $\Pi$ 에 수직이 되도록 하는, 평면 $\Pi$ 위의 점 $E$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $C$ 에서 $A$ 로 향하는 벡터 $\left< 1-2\,,\,1-1\,,\,3-0\right> = \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>$ 은 완전히 $\Pi$ 안에 놓여 있다. $C$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터 $\left< 2-2\,,\,0-1\,,\,2-0\right> = \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right>$ 도 완전히 $\Pi$ 안에 놓여 있다. 따라서 벡터

$\begin{aligned} \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>\times \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

는 $\Pi$ 에 수직이다. 그러면 $\Pi$ 의 방정식은

$\begin{aligned} \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \cdot \left< x-2 \,,\, y-1 \,,\, z \right> = 0 \qquad\text{또는}\qquad 3x+2y+z = 8 \end{aligned}$

이다.

(b) $E$ 를 $(x,y,z)$ 라 하자. 그러면 $D$ 에서 $E$ 로 향하는 벡터 $\left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right>$ 는 $\Pi$ 에 수직인 벡터 $\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right>$ 과 평행해야 한다. 즉, 다음을 만족하는 수 $t$ 가 있어야 한다.

$\begin{aligned} & \left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right> = t \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \\ &\text{또는 }x=6+3t,\ y=1+2t,\ z=2+t \end{aligned}$

$(x,y,z)$ 는 $\Pi$ 위에 있어야 하므로,

$\begin{aligned} 8 = 3x+2y+z = 3(6+3t) + 2(1+2t) +(2+t) = 22 +14 t \implies t=-1 \end{aligned}$

이다. 따라서 $(x,y,z) = \big(6+3(-1)\,,\,1+2(-1)\,,\,2+(-1)\big) = \big(3\,,\,-1\,,\,1\big)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류