직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.4절 · 9번

CLP-3 · 1.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^3$ 에서 평면 $\Pi$ 가 세 점 $A = (1, 1, 3)$ , $B = (2, 0, 2)$ , $C = (2, 1, 0)$ 을 지난다.

(a) 평면 $\Pi$ 의 방정식을 구하세요. (b) 점 $D = (6, 1, 2)$ 와 $E$ 를 지나는 직선 $L$ 이 $\Pi$ 에 수직이 되도록 하는, 평면 $\Pi$ 위의 점 $E$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

A plane $\Pi$ passes through the points $A = (1, 1, 3)$ , $B = (2, 0, 2)$ and $C = (2, 1, 0)$ in $\mathbb{R}^3$ .

(a) Find an equation for the plane $\Pi$ . (b) Find the point $E$ in the plane $\Pi$ such that the line $L$ through $D = (6, 1, 2)$ and $E$ is perpendicular to $\Pi$ .

정답·풀이 보기

(a) $C$ 에서 $A$ 로 향하는 벡터 $\left< 1-2\,,\,1-1\,,\,3-0\right> = \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>$ 은 완전히 $\Pi$ 안에 놓여 있다. $C$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터 $\left< 2-2\,,\,0-1\,,\,2-0\right> = \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right>$ 도 완전히 $\Pi$ 안에 놓여 있다. 따라서 벡터

$\begin{aligned} \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>\times \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

는 $\Pi$ 에 수직이다. 그러면 $\Pi$ 의 방정식은

$\begin{aligned} \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \cdot \left< x-2 \,,\, y-1 \,,\, z \right> = 0 \qquad\text{또는}\qquad 3x+2y+z = 8 \end{aligned}$

이다.

(b) $E$ 를 $(x,y,z)$ 라 하자. 그러면 $D$ 에서 $E$ 로 향하는 벡터 $\left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right>$ 는 $\Pi$ 에 수직인 벡터 $\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right>$ 과 평행해야 한다. 즉, 다음을 만족하는 수 $t$ 가 있어야 한다.

$\begin{aligned} & \left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right> = t \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \\ &\text{또는 }x=6+3t,\ y=1+2t,\ z=2+t \end{aligned}$

$(x,y,z)$ 는 $\Pi$ 위에 있어야 하므로,

$\begin{aligned} 8 = 3x+2y+z = 3(6+3t) + 2(1+2t) +(2+t) = 22 +14 t \implies t=-1 \end{aligned}$

이다. 따라서 $(x,y,z) = \big(6+3(-1)\,,\,1+2(-1)\,,\,2+(-1)\big) = \big(3\,,\,-1\,,\,1\big)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The vector from $C$ to $A$ , namely $\left< 1-2\,,\,1-1\,,\,3-0\right> = \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>$ lies entirely inside $\Pi$ . The vector from $C$ to $B$ , namely $\left< 2-2\,,\,0-1\,,\,2-0\right> = \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right>$ also lies entirely inside $\Pi$ . Consequently, the vector

is perpendicular to $\Pi$ . The equation of $\Pi$ is then

$\begin{aligned} \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \cdot \left< x-2 \,,\, y-1 \,,\, z \right> = 0 \qquad\text{or}\qquad 3x+2y+z = 8 \end{aligned}$

(b) Let $E$ be $(x,y,z)$ . Then the vector from $D$ to $E$ , namely $\left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right>$ has to be parallel to the vector $\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right>$ , which is perpendicular to $\Pi$ . That is, there must be a number $t$ such that

$\begin{aligned} & \left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right> = t \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \\ &\text{or }x=6+3t,\ y=1+2t,\ z=2+t \end{aligned}$

As $(x,y,z)$ must be in $\Pi$ ,

$\begin{aligned} 8 = 3x+2y+z = 3(6+3t) + 2(1+2t) +(2+t) = 22 +14 t \implies t=-1 \end{aligned}$

So $(x,y,z) = \big(6+3(-1)\,,\,1+2(-1)\,,\,2+(-1)\big) = \big(3\,,\,-1\,,\,1\big)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 8번우리말 번역

주어진 점에서 주어진 평면까지의 거리를 구하세요.

(a) 점 $(-1,2,3)$ , 평면 $x+y+z=7$ (b) 점 $(1,-4,3)$ , 평면 $x-2y+z=5$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 평면 위의 한 점은 $(0,0,7)$ 이다. $(-1,2,3)$ 에서 $(0,0,7)$ 로 향하는 벡터는 $\left< 0,0,7\right> -\left< -1,2,3\right> =\left< 1,-2,4\right>$ 이다. 평면에 수직인 단위벡터는 $\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right>$ 이다. $(-1,2,3)$ 에서 평면까지의 거리는 $\left< 1,-2,4\right>$ 를 $\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right>$ 위로 정사영한 벡터의 길이이므로 $\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> \cdot\left< 1,-2,4\right> =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3} \end{aligned}$ 이다.

(b) 평면 위의 한 점은 $(0,0,5)$ 이다. $(1,-4,3)$ 에서 $(0,0,5)$ 로 향하는 벡터는 $\left< 0,0,5\right> -\left< 1,-4,3\right> =\left< -1,4,2\right>$ 이다. 평면에 수직인 단위벡터는 $\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right>$ 이다. $(1,-4,3)$ 에서 평면까지의 거리는 $\left< -1,4,2\right>$ 를 $\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right>$ 위로 정사영한 벡터의 길이이므로 다음 값의 절댓값이다.

$\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> \cdot \left< -1,4,2\right> =\frac{-7}{\sqrt{6}}$

따라서 거리는 $7/\sqrt{6}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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