직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.4절 · 2번

CLP-3 · 1.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

방정식 $3x+\frac{1}{2}y+z=4$ 로 주어진 평면 $P$ 를 생각하자.

(a) $P$ 와 $y$ 축의 교점을 구하세요. (b) $P$ 와 $z$ 축의 교점을 구하세요. (c) $P$ 와 $yz$ 평면의 교선 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프를 그리세요. (즉, $x,y,z\ge 0$ 인 부분이다.)

영어 원문 보기

Consider the plane $P$ with equation $3x+\frac{1}{2}y+z=4$ .

(a) Find the intersection of $P$ with the $y$ -axis. (b) Find the intersection of $P$ with the $z$ -axis. (c) Sketch the part of the intersection of $P$ with the $yz$ -plane that is in the first octant. (That is, with $x,y,z\ge 0$ .)

정답·풀이 보기

(a) $y$ 축 위의 각 점은 $(0,y,0)$ 꼴이다. 이러한 점이 평면 $P$ 위에 있으려면

$3(0)+\frac{1}{2}y+0=4 \iff y=8$

이어야 한다. 따라서 $P$ 와 $y$ 축의 교점은 한 점 $(0,8,0)$ 이다. (b) $z$ 축 위의 각 점은 $(0,0,z)$ 꼴이다. 이러한 점이 평면 $P$ 위에 있으려면

$3(0)+\frac{1}{2}(0)+z=4 \iff z=4$

이어야 한다. 따라서 $P$ 와 $z$ 축의 교점은 한 점 $(0,0,4)$ 이다. (c) 평면 $P$ 와 $yz$ 평면의 교선은 직선이다. (a)와 (b)에서 두 점 $(0,8,0)$ 과 $(0,0,4)$ 가 그 직선 위에 있음을 보였다. 다음은 그 직선 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Each point on the $y$ -axis is of the form $(0,y,0)$ . Such a point is on the plane $P$ if

$3(0)+\frac{1}{2}y+0=4 \iff y=8$

So the intersection of $P$ with the $y$ -axis is the single point $(0,8,0)$ . (b) Each point on the $z$ -axis is of the form $(0,0,z)$ . Such a point is on the plane $P$ if

$3(0)+\frac{1}{2}(0)+z=4 \iff z=4$

So the intersection of $P$ with the $z$ -axis is the single point $(0,0,4)$ . (c) The intersection of the plane $P$ with the $yz$ -plane is a line. We have shown in parts (a) and (b) that the points $(0,8,0)$ and $(0,0,4)$ are on that line. Here is a sketch of the part of that line that is in the first octant.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 1번우리말 번역

벡터 $\hat{\mathbf{k}}$ 는 평면 $z=0$ 의 법선벡터(즉, 수직인 벡터)이다. $z=0$ 에 수직인 또 다른 영벡터가 아닌 벡터를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

구하는 벡터는 $z=0$ 에 수직이므로 $\hat{\mathbf{k}}$ 와 평행하다. $\hat{\mathbf{k}}$ 와 평행하려면 그 벡터는 어떤 실수 $c$ 에 대해 $c\,\hat{\mathbf{k}}$ 꼴이어야 한다. 이 벡터가 영벡터가 아니려면 $c\ne 0$ 이어야 하고, $\hat{\mathbf{k}}$ 와 다르려면 $c\ne 1$ 이어야 한다. 따라서 가능한 세 가지 예는 $-\hat{\mathbf{k}}$ , $2\,\hat{\mathbf{k}}$ , $7.12345\,\hat{\mathbf{k}}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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