직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.4절 · 3번

CLP-3 · 1.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

(a) 원점을 지나고 법선벡터가 $\left< 1,2,3\right>$ 인 평면의 방정식을 구하세요. (b) 점 $(0,0,1)$ 을 지나고 법선벡터가 $\left< 1,1,3\right>$ 인 평면의 방정식을 구하세요. (c) 가능하다면, $(1,2,3)$ 과 $(1,0,0)$ 을 모두 지나고 법선벡터가 $\left< 4,5,6\right>$ 인 평면의 방정식을 구하세요. (d) 가능하다면, $(1,2,3)$ 과 $(0,3,4)$ 를 모두 지나고 법선벡터가 $\left< 2,1,1\right>$ 인 평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find the equation of the plane that passes through the origin and has normal vector $\left< 1,2,3\right>$ . (b) Find the equation of the plane that passes through the point $(0,0,1)$ and has normal vector $\left< 1,1,3\right>$ . (c) Find, if possible, the equation of a plane that passes through both $(1,2,3)$ and $(1,0,0)$ and has normal vector $\left< 4,5,6\right>$ . (d) Find, if possible, the equation of a plane that passes through both $(1,2,3)$ and $(0,3,4)$ and has normal vector $\left< 2,1,1\right>$ .

정답·풀이 보기

(a) $(x,y,z)$ 가 평면 위의 임의의 점이면, $(x,y,z)$ 에서 $(0,0,0)$ 으로 향하는 벡터, 즉 $\left< x,y,z\right>$ 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 $\left< x,y,z\right>$ 는 $\left< 1,2,3\right>$ 과 수직이어야 하므로

$0=\left< x,y,z\right>\cdot \left< 1,2,3\right> =x+2y+3z$

(b) $(x,y,z)$ 가 평면 위의 임의의 점이면, $(x,y,z)$ 에서 $(0,0,1)$ 로 향하는 벡터, 즉 $\left< x,y,z-1\right>$ 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 $\left< x,y,z-1\right>$ 는 $\left< 1,1,3\right>$ 과 수직이어야 하므로

$0=\left< x,y,z-1\right>\cdot \left< 1,1,3\right> =x+y+3(z-1) \iff x+y+3z=3$

(c) $(1,2,3)$ 과 $(1,0,0)$ 이 모두 평면 위에 있다면, $(1,2,3)$ 에서 $(1,0,0)$ 으로 향하는 벡터, 즉 $\left< 0,2,3\right>$ 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 $\left< 0,2,3\right>$ 는 $\left< 4,5,6\right>$ 과 수직이어야 한다. 그런데

$\left< 0,2,3\right> \cdot \left< 4,5,6\right> = 28\ne 0$

이므로 벡터 $\left< 0,2,3\right>$ 는 $\left< 4,5,6\right>$ 과 수직이 아니다. 따라서 $(1,2,3)$ 과 $(1,0,0)$ 을 모두 지나고 법선벡터가 $\left< 4,5,6\right>$ 인 평면은 존재하지 않는다.

(d) $(1,2,3)$ 과 $(0,3,4)$ 가 모두 평면 위에 있다면, $(1,2,3)$ 에서 $(0,3,4)$ 로 향하는 벡터, 즉 $\left< 1,-1,-1\right>$ 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 $\left< 1,-1,-1\right>$ 는 $\left< 2,1,1\right>$ 과 수직이어야 한다. 그런데

$\left< 1,-1,-1\right> \cdot \left< 2,1,1\right> = 0$

이므로 벡터 $\left< 1,-1,-1\right>$ 는 실제로 $\left< 2,1,1\right>$ 과 수직이다. 따라서 $(1,2,3)$ 과 $(0,3,4)$ 를 모두 지나고 법선벡터가 $\left< 2,1,1\right>$ 인 평면이 존재한다. 이제 그 방정식을 세우기만 하면 된다.

$(x,y,z)$ 가 평면 위의 임의의 점이면, $(x,y,z)$ 에서 $(1,2,3)$ 으로 향하는 벡터, 즉 $\left< x-1,y-2,z-3\right>$ 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 $\left< x-1,y-2,z-3\right>$ 는 $\left< 2,1,1\right>$ 과 수직이어야 하므로

$0=\left< x-1,y-2,z-3\right>\cdot \left< 2,1,1\right> =2(x-1)+(y-2)+(z-3) \iff 2x+y+z=7$

검산으로, $(x,y,z)=(1,2,3)$ 과 $(x,y,z)=(0,3,4)$ 가 모두 방정식 $2x+y+z=7$ 을 만족함을 확인할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If $(x,y,z)$ is any point on the plane, then both the head and the tail of the vector from $(x,y,z)$ to $(0,0,0)$ , namely $\left< x,y,z\right>$ , lie in the plane. So the vector $\left< x,y,z\right>$ must be perpendicular to $\left< 1,2,3\right>$ and

$0=\left< x,y,z\right>\cdot \left< 1,2,3\right> =x+2y+3z$

(b) If $(x,y,z)$ is any point on the plane, then both the head and the tail of the vector from $(x,y,z)$ to $(0,0,1)$ , namely $\left< x,y,z-1\right>$ , lie in the plane. So the vector $\left< x,y,z-1\right>$ must be perpendicular to $\left< 1,1,3\right>$ and

$0=\left< x,y,z-1\right>\cdot \left< 1,1,3\right> =x+y+3(z-1) \iff x+y+3z=3$

(c) If both $(1,2,3)$ and $(1,0,0)$ are on the plane, then both the head and the tail of the vector from $(1,2,3)$ to $(1,0,0)$ , namely $\left< 0,2,3\right>$ , lie in the plane. So the vector $\left< 0,2,3\right>$ must be perpendicular to $\left< 4,5,6\right>$ . As

$\left< 0,2,3\right> \cdot \left< 4,5,6\right> = 28\ne 0$

the vector $\left< 0,2,3\right>$ is not perpendicular to $\left< 4,5,6\right>$ . So there is no plane that passes through both $(1,2,3)$ and $(1,0,0)$ and has normal vector $\left< 4,5,6\right>$ .

(d) If both $(1,2,3)$ and $(0,3,4)$ are on the plane, then both the head and the tail of the vector from $(1,2,3)$ to $(0,3,4)$ , namely $\left< 1,-1,-1\right>$ , lie in the plane. So the vector $\left< 1,-1,-1\right>$ must be perpendicular to $\left< 2,1,1\right>$ . As

$\left< 1,-1,-1\right> \cdot \left< 2,1,1\right> = 0$

the vector $\left< 1,-1,-1\right>$ is indeed perpendicular to $\left< 2,1,1\right>$ . So there is a plane that passes through both $(1,2,3)$ and $(0,3,4)$ and has normal vector $\left< 2,1,1\right>$ . We now just have to build its equation.

If $(x,y,z)$ is any point on the plane, then both the head and the tail of the vector from $(x,y,z)$ to $(1,2,3)$ , namely $\left< x-1,y-2,z-3\right>$ , lie in the plane. So the vector $\left< x-1,y-2,z-3\right>$ must be perpendicular to $\left< 2,1,1\right>$ and

$0=\left< x-1,y-2,z-3\right>\cdot \left< 2,1,1\right> =2(x-1)+(y-2)+(z-3) \iff 2x+y+z=7$

As a check, note that both $(x,y,z)=(1,2,3)$ and $(x,y,z)=(0,3,4)$ obey the equation $2x+y+z=7$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 2번우리말 번역

방정식 $3x+\frac{1}{2}y+z=4$ 로 주어진 평면 $P$ 를 생각하자.

(a) $P$ 와 $y$ 축의 교점을 구하세요. (b) $P$ 와 $z$ 축의 교점을 구하세요. (c) $P$ 와 $yz$ 평면의 교선 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프를 그리세요. (즉, $x,y,z\ge 0$ 인 부분이다.)

다 풀었으면 정답 확인

(a) $y$ 축 위의 각 점은 $(0,y,0)$ 꼴이다. 이러한 점이 평면 $P$ 위에 있으려면

$3(0)+\frac{1}{2}y+0=4 \iff y=8$

이어야 한다. 따라서 $P$ 와 $y$ 축의 교점은 한 점 $(0,8,0)$ 이다. (b) $z$ 축 위의 각 점은 $(0,0,z)$ 꼴이다. 이러한 점이 평면 $P$ 위에 있으려면

$3(0)+\frac{1}{2}(0)+z=4 \iff z=4$

이어야 한다. 따라서 $P$ 와 $z$ 축의 교점은 한 점 $(0,0,4)$ 이다. (c) 평면 $P$ 와 $yz$ 평면의 교선은 직선이다. (a)와 (b)에서 두 점 $(0,8,0)$ 과 $(0,0,4)$ 가 그 직선 위에 있음을 보였다. 다음은 그 직선 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류