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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

세 점 (1,0,0)(1,0,0), (0,1,0)(0,1,0), (0,0,1)(0,0,1)을 지나는 평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of the plane that contains (1,0,0)(1,0,0), (0,1,0)(0,1,0) and (0,0,1)(0,0,1).

정답·풀이 보기

풀이 1: 너무 쉽다. 그냥 짐작하면 된다. 평면 x+y+z=1x+y+z=1은 주어진 세 점을 모두 지난다.

풀이 2: 이 평면은 원점을 지나지 않는다. (간단히 그림을 그려 보면 알 수 있다.) 따라서 이 평면의 방정식은 ax+by+cz=1ax+by+cz=1 꼴이다.

  • (1,0,0)(1,0,0)이 평면 위에 있으려면

a(1)+b(0)+c(0)=1  ⟹  a=1a(1) +b(0) +c(0) =1 \implies a=1

  • (0,1,0)(0,1,0)이 평면 위에 있으려면

a(0)+b(1)+c(0)=1  ⟹  b=1a(0) +b(1) +c(0) =1 \implies b=1

  • (0,0,1)(0,0,1)이 평면 위에 있으려면

a(0)+b(0)+c(1)=1  ⟹  c=1a(0) +b(0) +c(1) =1 \implies c=1

따라서 이 평면은 x+y+z=1x+y+z=1이다.

풀이 3: (1,0,0)(1,0,0)에서 (0,1,0)(0,1,0)까지의 벡터, 즉 <−1,1,0>\left< -1,1,0\right>의 시점과 종점은 모두 평면 위에 있다. 마찬가지로 (1,0,0)(1,0,0)에서 (0,0,1)(0,0,1)까지의 벡터, 즉 <−1,0,1>\left< -1,0,1\right>의 시점과 종점도 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터

<−1,1,0>×<−1,0,1>=det⁡[ı^ȷ^k^−110−101]=<1,1,1>\begin{aligned} \left< -1,1,0\right> \times \left< -1,0,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 , 1 ,1 \right> \end{aligned}

은 이 평면의 법선 벡터이다. (1,0,0)(1,0,0)이 평면 위의 점이므로

<1,1,1>⋅<x−1 , y−0 , z−0>=0또는x+y+z=1\begin{aligned} \left< 1 , 1 ,1 \right> \cdot \left< x-1\,,\,y-0\,,\, z-0 \right> = 0\qquad \text{또는}\quad x+y+z=1 \end{aligned}

이 평면의 방정식이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: That's too easy. We just guess. The plane x+y+z=1x+y+z=1 contains all three given points.

Solution 2: The plane does not pass through the origin. (You can see this by just making a quick sketch.) So the plane has an equation of the form ax+by+cz=1ax+by+cz=1.

  • For (1,0,0)(1,0,0) to be on the plane we need that

a(1)+b(0)+c(0)=1  ⟹  a=1a(1) +b(0) +c(0) =1 \implies a=1

  • For (0,1,0)(0,1,0) to be on the plane we need that

a(0)+b(1)+c(0)=1  ⟹  b=1a(0) +b(1) +c(0) =1 \implies b=1

  • For (0,0,1)(0,0,1) to be on the plane we need that

a(0)+b(0)+c(1)=1  ⟹  c=1a(0) +b(0) +c(1) =1 \implies c=1

So the plane is x+y+z=1x+y+z=1.

Solution 3: Both the head and the tail of the vector from (1,0,0)(1,0,0) to (0,1,0)(0,1,0), namely <−1,1,0>\left< -1,1,0\right>, lie in the plane. Similarly, both the head and the tail of the vector from (1,0,0)(1,0,0) to (0,0,1)(0,0,1), namely <−1,0,1>\left< -1,0,1\right>, lie in the plane. So the vector

<−1,1,0>×<−1,0,1>=det⁡[ı^ȷ^k^−110−101]=<1,1,1>\begin{aligned} \left< -1,1,0\right> \times \left< -1,0,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 , 1 ,1 \right> \end{aligned}

is a normal vector for the plane. As (1,0,0)(1,0,0) is a point in the plane,

<1,1,1>⋅<x−1 , y−0 , z−0>=0orx+y+z=1\begin{aligned} \left< 1 , 1 ,1 \right> \cdot \left< x-1\,,\,y-0\,,\, z-0 \right> = 0\qquad \text{or}\quad x+y+z=1 \end{aligned}

is an equation for the plane.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 3번우리말 번역

(a) 원점을 지나고 법선벡터가 <1,2,3>\left< 1,2,3\right> 인 평면의 방정식을 구하세요. (b) 점 (0,0,1)(0,0,1) 을 지나고 법선벡터가 <1,1,3>\left< 1,1,3\right> 인 평면의 방정식을 구하세요. (c) 가능하다면, (1,2,3)(1,2,3) 과 (1,0,0)(1,0,0) 을 모두 지나고 법선벡터가 <4,5,6>\left< 4,5,6\right> 인 평면의 방정식을 구하세요. (d) 가능하다면, (1,2,3)(1,2,3) 과 (0,3,4)(0,3,4) 를 모두 지나고 법선벡터가 <2,1,1>\left< 2,1,1\right> 인 평면의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) (x,y,z)(x,y,z) 가 평면 위의 임의의 점이면, (x,y,z)(x,y,z) 에서 (0,0,0)(0,0,0) 으로 향하는 벡터, 즉 <x,y,z>\left< x,y,z\right> 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 <x,y,z>\left< x,y,z\right> 는 <1,2,3>\left< 1,2,3\right> 과 수직이어야 하므로

0=<x,y,z>⋅<1,2,3>=x+2y+3z0=\left< x,y,z\right>\cdot \left< 1,2,3\right> =x+2y+3z

(b) (x,y,z)(x,y,z) 가 평면 위의 임의의 점이면, (x,y,z)(x,y,z) 에서 (0,0,1)(0,0,1) 로 향하는 벡터, 즉 <x,y,z−1>\left< x,y,z-1\right> 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 <x,y,z−1>\left< x,y,z-1\right> 는 <1,1,3>\left< 1,1,3\right> 과 수직이어야 하므로

0=<x,y,z−1>⋅<1,1,3>=x+y+3(z−1)  ⟺  x+y+3z=30=\left< x,y,z-1\right>\cdot \left< 1,1,3\right> =x+y+3(z-1) \iff x+y+3z=3

(c) (1,2,3)(1,2,3) 과 (1,0,0)(1,0,0) 이 모두 평면 위에 있다면, (1,2,3)(1,2,3) 에서 (1,0,0)(1,0,0) 으로 향하는 벡터, 즉 <0,2,3>\left< 0,2,3\right> 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 <0,2,3>\left< 0,2,3\right> 는 <4,5,6>\left< 4,5,6\right> 과 수직이어야 한다. 그런데

<0,2,3>⋅<4,5,6>=28≠0\left< 0,2,3\right> \cdot \left< 4,5,6\right> = 28\ne 0

이므로 벡터 <0,2,3>\left< 0,2,3\right> 는 <4,5,6>\left< 4,5,6\right> 과 수직이 아니다. 따라서 (1,2,3)(1,2,3) 과 (1,0,0)(1,0,0) 을 모두 지나고 법선벡터가 <4,5,6>\left< 4,5,6\right> 인 평면은 존재하지 않는다.

(d) (1,2,3)(1,2,3) 과 (0,3,4)(0,3,4) 가 모두 평면 위에 있다면, (1,2,3)(1,2,3) 에서 (0,3,4)(0,3,4) 로 향하는 벡터, 즉 <1,−1,−1>\left< 1,-1,-1\right> 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 <1,−1,−1>\left< 1,-1,-1\right> 는 <2,1,1>\left< 2,1,1\right> 과 수직이어야 한다. 그런데

<1,−1,−1>⋅<2,1,1>=0\left< 1,-1,-1\right> \cdot \left< 2,1,1\right> = 0

이므로 벡터 <1,−1,−1>\left< 1,-1,-1\right> 는 실제로 <2,1,1>\left< 2,1,1\right> 과 수직이다. 따라서 (1,2,3)(1,2,3) 과 (0,3,4)(0,3,4) 를 모두 지나고 법선벡터가 <2,1,1>\left< 2,1,1\right> 인 평면이 존재한다. 이제 그 방정식을 세우기만 하면 된다.

(x,y,z)(x,y,z) 가 평면 위의 임의의 점이면, (x,y,z)(x,y,z) 에서 (1,2,3)(1,2,3) 으로 향하는 벡터, 즉 <x−1,y−2,z−3>\left< x-1,y-2,z-3\right> 의 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터 <x−1,y−2,z−3>\left< x-1,y-2,z-3\right> 는 <2,1,1>\left< 2,1,1\right> 과 수직이어야 하므로

0=<x−1,y−2,z−3>⋅<2,1,1>=2(x−1)+(y−2)+(z−3)  ⟺  2x+y+z=70=\left< x-1,y-2,z-3\right>\cdot \left< 2,1,1\right> =2(x-1)+(y-2)+(z-3) \iff 2x+y+z=7

검산으로, (x,y,z)=(1,2,3)(x,y,z)=(1,2,3) 과 (x,y,z)=(0,3,4)(x,y,z)=(0,3,4) 가 모두 방정식 2x+y+z=72x+y+z=7 을 만족함을 확인할 수 있다.

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