직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.4절 · 6번

CLP-3 · 1.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 무엇이 잘못되었는지 설명하세요. “세 점 $(1,2,3)$ , $(2,3,4)$ , $(3,4,5)$ 를 포함하는 평면의 방정식을 구하세요.”

영어 원문 보기

What's wrong with the following exercise? “Find the equation of the plane containing $(1,2,3)$ , $(2,3,4)$ and $(3,4,5)$ .”

정답·풀이 보기

$(1,2,3)$ 에서 $(2,3,4)$ 까지의 벡터, 즉 $\left< 1,1,1\right>$ 은 $(1,2,3)$ 에서 $(3,4,5)$ 까지의 벡터, 즉 $\left< 2,2,2\right>$ 와 평행하다. 따라서 주어진 세 점은 한 직선 위에 있다. 정확히 말하면, 세 점 $(1,2,3),\ (2,3,4)$ , $(3,4,5)$ 는 모두 직선 $\left< x-1,y-2,z-3\right>=t\left< 1,1,1\right>$ 위에 있다. 이 직선을 지나는 평면은 많다.

원본 교재 풀이(영어)

The vector from $(1,2,3)$ to $(2,3,4)$ , namely $\left< 1,1,1\right>$ is parallel to the vector from $(1,2,3)$ to $(3,4,5)$ , namely $\left< 2,2,2\right>$ . So the three given points are collinear. Precisely, all three points $(1,2,3),\ (2,3,4)$ and $(3,4,5)$ are on the line $\left< x-1,y-2,z-3\right>=t\left< 1,1,1\right>$ . There are many planes through that line.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 4번우리말 번역

세 점 $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ 을 지나는 평면의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1: 너무 쉽다. 그냥 짐작하면 된다. 평면 $x+y+z=1$ 은 주어진 세 점을 모두 지난다.

풀이 2: 이 평면은 원점을 지나지 않는다. (간단히 그림을 그려 보면 알 수 있다.) 따라서 이 평면의 방정식은 $ax+by+cz=1$ 꼴이다.

$(1,0,0)$ 이 평면 위에 있으려면

$a(1) +b(0) +c(0) =1 \implies a=1$

$(0,1,0)$ 이 평면 위에 있으려면

$a(0) +b(1) +c(0) =1 \implies b=1$

$(0,0,1)$ 이 평면 위에 있으려면

$a(0) +b(0) +c(1) =1 \implies c=1$

따라서 이 평면은 $x+y+z=1$ 이다.

풀이 3: $(1,0,0)$ 에서 $(0,1,0)$ 까지의 벡터, 즉 $\left< -1,1,0\right>$ 의 시점과 종점은 모두 평면 위에 있다. 마찬가지로 $(1,0,0)$ 에서 $(0,0,1)$ 까지의 벡터, 즉 $\left< -1,0,1\right>$ 의 시점과 종점도 모두 평면 위에 있다. 따라서 벡터

$\begin{aligned} \left< -1,1,0\right> \times \left< -1,0,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 , 1 ,1 \right> \end{aligned}$

은 이 평면의 법선 벡터이다. $(1,0,0)$ 이 평면 위의 점이므로

$\begin{aligned} \left< 1 , 1 ,1 \right> \cdot \left< x-1\,,\,y-0\,,\, z-0 \right> = 0\qquad \text{또는}\quad x+y+z=1 \end{aligned}$

이 평면의 방정식이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류