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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

주어진 세 점을 지나는 평면을 구하세요.

(a) (1,0,1), (2,4,6), (1,2,−1)(1,0,1),\ (2,4,6),\ (1,2,-1) (b) (1,−2,−3), (4,−4,4), (3,2,−3)(1,-2,-3),\ (4,-4,4),\ (3,2,-3) (c) (1,−2,−3), (5,2,1), (−1,−4,−5)(1,-2,-3),\ (5,2,1),\ (-1,-4,-5)

영어 원문 보기

Find the plane containing the given three points.

(a) (1,0,1), (2,4,6), (1,2,−1)(1,0,1),\ (2,4,6),\ (1,2,-1) (b) (1,−2,−3), (4,−4,4), (3,2,−3)(1,-2,-3),\ (4,-4,4),\ (3,2,-3) (c) (1,−2,−3), (5,2,1), (−1,−4,−5)(1,-2,-3),\ (5,2,1),\ (-1,-4,-5)

정답·풀이 보기

(a) 이 평면은 <2,4,6>−<1,0,1>=<1,4,5>\left< 2,4,6\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 1,4,5\right> 및 <1,2,−1>−<1,0,1>=<0,2,−2>\left< 1,2,-1\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 0,2,-2\right> 과 평행해야 한다. 따라서 법선벡터는 <1,4,5>\left< 1,4,5\right> 과 <0,2,−2>\left< 0,2,-2\right> 에 모두 수직이어야 하므로 다음과 평행하다.

<1,4,5>×<0,2,−2>=det⁡[ı^ȷ^k^14502−2]=<−18,2,2>\left< 1,4,5\right> \times\left< 0,2,-2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -2 \end{matrix}\right] =\left< -18,2,2\right>

평면의 방정식은 9(x−1)−y−(z−1)=09(x-1)-y-(z-1)=0 즉 9x−y−z=89x-y-z=8 이다.

(1,0,1), (2,4,6)(1,0,1),\ (2,4,6), (1,2,−1)(1,2,-1) 이 모두 9x−y−z=89x-y-z=8 을 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

(b) 이 평면은 <4,−4,4>−<1,−2,−3>=<3,−2,7>\left< 4,-4,4\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 3,-2,7\right> 및 <3,2,−3>−<1,−2,−3>=<2,4,0>\left< 3,2,-3\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 2,4,0\right> 과 평행해야 한다. 따라서 법선벡터는 <3,−2,7>\left< 3,-2,7\right> 과 <2,4,0>\left< 2,4,0\right> 에 모두 수직이어야 하므로 다음과 평행하다.

<3,−2,7>×<2,4,0>=det⁡[ı^ȷ^k^3−27240]=<−28,14,16>\left< 3,-2,7\right> \times\left< 2,4,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & -2 & 7 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix}\right] =\left< -28,14,16\right>

평면의 방정식은 14(x−1)−7(y+2)−8(z+3)=014(x-1)-7(y+2)-8(z+3)=0 즉 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52 이다.

(1,−2,−3), (4,−4,4)(1,-2,-3),\ (4,-4,4), (3,2,−3)(3,2,-3) 이 모두 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52 를 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

(c) 이 평면은 <5,2,1>−<1,−2,−3>=<4,4,4>\left< 5,2,1\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 4,4,4\right> 및 <−1,−4,−5>−<1,−2,−3>=<−2,−2,−2>\left< -1,-4,-5\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< -2,-2,-2\right> 과 평행해야 한다. 이런, 이 두 벡터는 평행하다. 따라서 세 점은 모두 한 직선 위에 있다. 이 직선을 포함하는 평면은 어느 것이든 세 점을 모두 지난다. <a,b,c>\left< a,b,c\right> 가 <1,1,1>\left< 1,1,1\right> 에 수직인 임의의 벡터(즉 a+b+c=0a+b+c=0 을 만족하는 벡터)이면, 평면 a(x−1)+b(y+2)+c(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)+c(z+3)=0 즉 a(x−1)+b(y+2)−(a+b)(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)-(a+b)(z+3)=0 즉 ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b 은 주어진 세 점을 지난다.

(1,−2,−3), (5,2,1)(1,-2,-3),\ (5,2,1), (−1,−4,−5)(-1,-4,-5) 가 모든 aa, bb 에 대해 방정식 ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b 를 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The plane must be parallel to <2,4,6>−<1,0,1>=<1,4,5>\left< 2,4,6\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 1,4,5\right> and to <1,2,−1>−<1,0,1>=<0,2,−2>\left< 1,2,-1\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 0,2,-2\right> . So its normal vector must be perpendicular to both <1,4,5>\left< 1,4,5\right> and <0,2,−2>\left< 0,2,-2\right> and hence parallel to

<1,4,5>×<0,2,−2>=det⁡[ı^ȷ^k^14502−2]=<−18,2,2>\left< 1,4,5\right> \times\left< 0,2,-2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -2 \end{matrix}\right] =\left< -18,2,2\right>

The plane is 9(x−1)−y−(z−1)=09(x-1)-y-(z-1)=0 or 9x−y−z=89x-y-z=8.

We can check this by observing that (1,0,1), (2,4,6)(1,0,1),\ (2,4,6) and (1,2,−1)(1,2,-1) all satisfy 9x−y−z=89x-y-z=8.

(b) The plane must be parallel to <4,−4,4>−<1,−2,−3>=<3,−2,7>\left< 4,-4,4\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 3,-2,7\right> and to <3,2,−3>−<1,−2,−3>=<2,4,0>\left< 3,2,-3\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 2,4,0\right> . So its normal vector must be perpendicular to both <3,−2,7>\left< 3,-2,7\right> and <2,4,0>\left< 2,4,0\right> and hence parallel to

<3,−2,7>×<2,4,0>=det⁡[ı^ȷ^k^3−27240]=<−28,14,16>\left< 3,-2,7\right> \times\left< 2,4,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & -2 & 7 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix}\right] =\left< -28,14,16\right>

The plane is 14(x−1)−7(y+2)−8(z+3)=014(x-1)-7(y+2)-8(z+3)=0 or 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52.

We can check this by observing that (1,−2,−3), (4,−4,4)(1,-2,-3),\ (4,-4,4) and (3,2,−3)(3,2,-3) all satisfy 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52.

(c) The plane must be parallel to <5,2,1>−<1,−2,−3>=<4,4,4>\left< 5,2,1\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 4,4,4\right> and to <−1,−4,−5>−<1,−2,−3>=<−2,−2,−2>\left< -1,-4,-5\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< -2,-2,-2\right> . My, my. These two vectors are parallel. So the three points are all on the same straight line. Any plane containing the line contains all three points. If <a,b,c>\left< a,b,c\right> is any vector perpendicular to <1,1,1>\left< 1,1,1\right> (i.e. which obeys a+b+c=0a+b+c=0) then the plane a(x−1)+b(y+2)+c(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)+c(z+3)=0 or a(x−1)+b(y+2)−(a+b)(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)-(a+b)(z+3)=0 or ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b contains the three given points.

We can check this by observing that (1,−2,−3), (5,2,1)(1,-2,-3),\ (5,2,1) and (−1,−4,−5)(-1,-4,-5) all satisfy the equation ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b for all aa and bb.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 6번우리말 번역

다음 문제에서 무엇이 잘못되었는지 설명하세요. “세 점 (1,2,3)(1,2,3), (2,3,4)(2,3,4), (3,4,5)(3,4,5)를 포함하는 평면의 방정식을 구하세요.”

다 풀었으면 정답 확인

(1,2,3)(1,2,3)에서 (2,3,4)(2,3,4)까지의 벡터, 즉 <1,1,1>\left< 1,1,1\right>은 (1,2,3)(1,2,3)에서 (3,4,5)(3,4,5)까지의 벡터, 즉 <2,2,2>\left< 2,2,2\right>와 평행하다. 따라서 주어진 세 점은 한 직선 위에 있다. 정확히 말하면, 세 점 (1,2,3), (2,3,4)(1,2,3),\ (2,3,4), (3,4,5)(3,4,5)는 모두 직선 <x−1,y−2,z−3>=t<1,1,1>\left< x-1,y-2,z-3\right>=t\left< 1,1,1\right> 위에 있다. 이 직선을 지나는 평면은 많다.

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