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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

A=(2,3,4)A = (2, 3, 4) 라 하고, LL 을 방정식 x+y=1x + y = 1 과 x+2y+z=3x + 2y + z = 3 으로 주어진 직선이라 하자.

(a) 점 AA 를 지나고 LL 에 수직인 평면의 방정식을 쓰세요. (b) 점 AA 와 직선 LL 을 포함하는 평면의 방정식을 쓰세요.

영어 원문 보기

Let A=(2,3,4)A = (2, 3, 4) and let LL be the line given by the equations x+y=1x + y = 1 and x+2y+z=3x + 2y + z = 3.

(a) Write an equation for the plane containing AA and perpendicular to LL. (b) Write an equation for the plane containing AA and LL.

정답·풀이 보기

(a), (b) 두 경우 모두 LL 의 방향 벡터가 필요하다. 그래서 먼저 하나를 구한다.

  • 벡터 <1,1,0>\left< 1,1,0\right> 은 x+y=1x + y = 1 에 수직이므로 LL 에도 수직이다.
  • 벡터 <1,2,1>\left< 1,2,1\right> 은 x+2y+z=3x + 2y + z = 3 에 수직이므로 LL 에도 수직이다.

따라서 벡터

<1,1,0>×<1,2,1>=det⁡[ı^ȷ^k^110121]=<1 , −1 , 1>\begin{aligned} \left< 1,1,0\right> \times \left< 1,2,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -1 \,,\, 1 \right> \end{aligned}

은 LL 의 방향 벡터이다.

(a) 이 평면은 점 (2,3,4)(2,3,4) 를 지나고 <−1,1,−1>\left<-1,1,-1 \right> 을 법선 벡터로 가져야 한다. 그러므로

<−1,1,−1>⋅<x−2,y−3,z−4>=0또는x−y+z=3\begin{aligned} \left<-1,1,-1 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{또는}\qquad x-y+z=3 \end{aligned}

이 조건을 만족한다.

(b) 이 평면은 점 A=(2,3,4)A=(2,3,4) 와 (1,0,2)(1,0,2) (LL 위의 점)를 지나야 하므로 벡터 <2−1,3−0,4−2>=<1,3,2> \left< 2-1,3-0,4-2 \right> =\left< 1,3,2 \right> 은 평면에 평행해야 한다. LL 의 방향 벡터 <−1,1,−1>\left< -1 , 1 , -1 \right> 도 평면에 평행해야 한다. 따라서 벡터

<1,3,2>×<−1,1,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^132−11−1]=<−5 , −1 , 4>\begin{aligned} \left< 1,3,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -5 \,,\, -1 \,,\, 4 \right> \end{aligned}

는 평면의 법선 벡터이어야 한다. 그러므로

<−5,−1,4>⋅<x−2,y−3,z−4>=0또는5x+y−4z=−3\begin{aligned} \left<-5,-1,4 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{또는}\qquad 5x+y-4z=-3 \end{aligned}

이 조건을 만족한다.

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need a direction vector for LL in both parts (a) and (b). So we find one first.

  • The vector <1,1,0>\left< 1,1,0\right> is perpendicular to x+y=1x + y = 1 and hence to LL.
  • The vector <1,2,1>\left< 1,2,1\right> is perpendicular to x+2y+z=3x + 2y + z = 3 and hence to LL.

So the vector

<1,1,0>×<1,2,1>=det⁡[ı^ȷ^k^110121]=<1 , −1 , 1>\begin{aligned} \left< 1,1,0\right> \times \left< 1,2,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -1 \,,\, 1 \right> \end{aligned}

is a direction vector for LL.

(a) The plane is to contain the point (2,3,4)(2,3,4) and is to have <−1,1,−1>\left<-1,1,-1 \right> as a normal vector. So

<−1,1,−1>⋅<x−2,y−3,z−4>=0orx−y+z=3\begin{aligned} \left<-1,1,-1 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{or}\qquad x-y+z=3 \end{aligned}

does the job.

(b) The plane is to contain the points A=(2,3,4)A=(2,3,4) and (1,0,2)(1,0,2) (which is on LL) so that the vector <2−1,3−0,4−2>=<1,3,2> \left< 2-1,3-0,4-2 \right> =\left< 1,3,2 \right> is to be parallel to the plane. The direction vector of LL, namely <−1,1,−1>\left< -1 , 1 , -1 \right>, is also to be parallel to the plane. So the vector

<1,3,2>×<−1,1,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^132−11−1]=<−5 , −1 , 4>\begin{aligned} \left< 1,3,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -5 \,,\, -1 \,,\, 4 \right> \end{aligned}

is to be normal to the plane. So

<−5,−1,4>⋅<x−2,y−3,z−4>=0or5x+y−4z=−3\begin{aligned} \left<-5,-1,4 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{or}\qquad 5x+y-4z=-3 \end{aligned}

does the job.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 11번우리말 번역

평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 을 생각하세요. 위 평면과의 거리가 22 인 평행한 평면을 모두 구하세요. 답은 다음 꼴로 나타내세요: 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C.

다 풀었으면 정답 확인

평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 에 평행한 평면은 모두 <4 , 2 , −4>\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> 를 법선벡터로 가지므로, 어떤 상수 CC 에 대해 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C 꼴의 방정식을 가진다. 평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 과 평면 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C 사이의 거리가 22 가 되는 CC 의 값을 구해야 한다. 평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 위의 한 점은 (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big) 이다. 다음을 만족하는 두 점 (x′,y′,z′)(x',y',z') 은

<x′−0 , y′−32 , z′−0>⏞(0,32,0) 에서 (x′,y′,z′) 로 가는 벡터=±2 <4 , 2 , −4>16+4+16⏞단위벡터=±26<4 , 2 , −4>=±<43 , 23 , −43>\begin{aligned} \overbrace{\left< x'-0\,,\,y'-\frac{3}{2}\,,\,z'-0\right>}^{\text{$\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ 에서 $(x',y',z')$ 로 가는 벡터}} =\pm 2\ \overbrace{\frac{\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right>}{\sqrt{16+4+16}}}^{\text{단위벡터}} =\pm \frac{2}{6} \left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> =\pm\left< \frac{4}{3}\,,\,\frac{2}{3}\,,\,-\frac{4}{3}\right> \end{aligned}

법선 방향으로 (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big) 에서 거리가 22 만큼 떨어진 두 점이다. 이 두 점 (x′,y′,z′)(x',y',z') 은

(0+43 , 32+23 , 0−43)=(43 , 136 , −43) 그리고 (0−43 , 32−23 , 0+43)=(−43 , 56 , 43)\begin{aligned} \left(0+\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}+\frac{2}{3}\,,\,0-\frac{4}{3}\right) &=\left(\frac{4}{3}\,,\, \frac{13}{6}\,,\,-\frac{4}{3}\right) \\\text{ 그리고 } \left(0-\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}-\frac{2}{3}\,,\,0+\frac{4}{3}\right) &=\left(-\frac{4}{3}\,,\, \frac{5}{6}\,,\,\frac{4}{3}\right) \end{aligned}

이다. 이 두 점은 구하려는 평면 위에 있으므로, 구하려는 두 평면은

4x+2y−4z=4×43+2×136−−4×43=32+26+326=15\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times 4}{3} +\frac{2\times 13}{6}-\frac{-4\times 4}{3} =\frac{32+26+32}{6} =15 \end{aligned}

과

4x+2y−4z=4×(−4)3+2×56−4×43=−32+10−326=−9\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times(-4)}{3} +\frac{2\times 5}{6}-\frac{4\times 4}{3} =\frac{-32+10-32}{6} =-9 \end{aligned}

이다.

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