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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 을 생각하세요. 위 평면과의 거리가 22 인 평행한 평면을 모두 구하세요. 답은 다음 꼴로 나타내세요: 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C.

영어 원문 보기

Consider the plane 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3. Find all parallel planes that are distance 22 from the above plane. Your answers should be in the following form: 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C.

정답·풀이 보기

평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 에 평행한 평면은 모두 <4 , 2 , −4>\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> 를 법선벡터로 가지므로, 어떤 상수 CC 에 대해 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C 꼴의 방정식을 가진다. 평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 과 평면 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C 사이의 거리가 22 가 되는 CC 의 값을 구해야 한다. 평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 위의 한 점은 (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big) 이다. 다음을 만족하는 두 점 (x′,y′,z′)(x',y',z') 은

<x′−0 , y′−32 , z′−0>⏞(0,32,0) 에서 (x′,y′,z′) 로 가는 벡터=±2 <4 , 2 , −4>16+4+16⏞단위벡터=±26<4 , 2 , −4>=±<43 , 23 , −43>\begin{aligned} \overbrace{\left< x'-0\,,\,y'-\frac{3}{2}\,,\,z'-0\right>}^{\text{$\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ 에서 $(x',y',z')$ 로 가는 벡터}} =\pm 2\ \overbrace{\frac{\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right>}{\sqrt{16+4+16}}}^{\text{단위벡터}} =\pm \frac{2}{6} \left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> =\pm\left< \frac{4}{3}\,,\,\frac{2}{3}\,,\,-\frac{4}{3}\right> \end{aligned}

법선 방향으로 (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big) 에서 거리가 22 만큼 떨어진 두 점이다. 이 두 점 (x′,y′,z′)(x',y',z') 은

(0+43 , 32+23 , 0−43)=(43 , 136 , −43) 그리고 (0−43 , 32−23 , 0+43)=(−43 , 56 , 43)\begin{aligned} \left(0+\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}+\frac{2}{3}\,,\,0-\frac{4}{3}\right) &=\left(\frac{4}{3}\,,\, \frac{13}{6}\,,\,-\frac{4}{3}\right) \\\text{ 그리고 } \left(0-\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}-\frac{2}{3}\,,\,0+\frac{4}{3}\right) &=\left(-\frac{4}{3}\,,\, \frac{5}{6}\,,\,\frac{4}{3}\right) \end{aligned}

이다. 이 두 점은 구하려는 평면 위에 있으므로, 구하려는 두 평면은

4x+2y−4z=4×43+2×136−−4×43=32+26+326=15\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times 4}{3} +\frac{2\times 13}{6}-\frac{-4\times 4}{3} =\frac{32+26+32}{6} =15 \end{aligned}

과

4x+2y−4z=4×(−4)3+2×56−4×43=−32+10−326=−9\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times(-4)}{3} +\frac{2\times 5}{6}-\frac{4\times 4}{3} =\frac{-32+10-32}{6} =-9 \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

All planes that are parallel to the plane 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 must have <4 , 2 , −4>\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> as a normal vector and hence must have an equation of the form 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C for some constant CC. We must find the CC's for which the distance from 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 to 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C is 22. One point on 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 is (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big). The two points (x′,y′,z′)(x',y',z') with

<x′−0 , y′−32 , z′−0>⏞vector from (0,32,0) to (x′,y′,z′)=±2 <4 , 2 , −4>16+4+16⏞unit vector=±26<4 , 2 , −4>=±<43 , 23 , −43>\begin{aligned} \overbrace{\left< x'-0\,,\,y'-\frac{3}{2}\,,\,z'-0\right>}^{\text{vector from $\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ to $(x',y',z')$}} =\pm 2\ \overbrace{\frac{\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right>}{\sqrt{16+4+16}}}^{\text{unit vector}} =\pm \frac{2}{6} \left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> =\pm\left< \frac{4}{3}\,,\,\frac{2}{3}\,,\,-\frac{4}{3}\right> \end{aligned}

are the two points that are a distance 22 from (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big) in the direction of the normal.The two points (x′,y′,z′)(x',y',z') are

(0+43 , 32+23 , 0−43)=(43 , 136 , −43) and (0−43 , 32−23 , 0+43)=(−43 , 56 , 43)\begin{aligned} \left(0+\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}+\frac{2}{3}\,,\,0-\frac{4}{3}\right) &=\left(\frac{4}{3}\,,\, \frac{13}{6}\,,\,-\frac{4}{3}\right) \\\text{ and } \left(0-\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}-\frac{2}{3}\,,\,0+\frac{4}{3}\right) &=\left(-\frac{4}{3}\,,\, \frac{5}{6}\,,\,\frac{4}{3}\right) \end{aligned}

These two points lie on the desired planes, so the two desired planes are

4x+2y−4z=4×43+2×136−−4×43=32+26+326=15\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times 4}{3} +\frac{2\times 13}{6}-\frac{-4\times 4}{3} =\frac{32+26+32}{6} =15 \end{aligned}

and

4x+2y−4z=4×(−4)3+2×56−4×43=−32+10−326=−9\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times(-4)}{3} +\frac{2\times 5}{6}-\frac{4\times 4}{3} =\frac{-32+10-32}{6} =-9 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 12번우리말 번역

점 (1,2,3)(1,2,3) 에서 세 점 (0,1,1)(0,1,1), (1,−1,3)(1,-1,3), (2,0,−1)(2,0,-1) 을 지나는 평면까지의 거리를 구하세요.

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두 벡터

a=<1,−1,3>−<0,1,1>=<1,−2,2>b=<2,0,−1>−<0,1,1>=<2,−1,−2>\begin{aligned} \mathbf{a}&=\left< 1,-1,3\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 1,-2, 2\right> \\ \mathbf{b}&=\left< 2,0,-1\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 2,-1,-2\right> \end{aligned}

는 모두 평면 안에 완전히 놓여 있다. 따라서 벡터

a×b=det⁡[ı^ȷ^k^1−222−1−2]=<6,6,3>\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{matrix}\right] =\left< 6,6,3\right>

은 평면에 수직이다. 벡터 c=13<6,6,3>=<2,2,1>\mathbf{c}=\frac{1}{3}\left< 6,6,3\right> =\left< 2,2,1\right> 도 평면에 수직이다. 벡터

d=<1,2,3>−<0,1,1>=<1,1,2>\mathbf{d}=\left< 1,2,3\right>-\left< 0,1,1\right>=\left< 1,1,2\right>

는 평면 위의 점과 주어진 점을 잇는다. 따라서 θ\theta 가 d\mathbf{d} 와 c\mathbf{c} 사이의 각이면, 거리는

∣d∣cos⁡θ=c⋅d∣c∣=69=2|\mathbf{d}|\cos\theta=\frac{\mathbf{c}\cdot\mathbf{d}}{|\mathbf{c}|}=\frac{6}{\sqrt{9}}=2

이다.

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